कैंटर सेट

thumb|कैंटर सेट के निर्माण के सात चरण। गणित में, कैंटर सेट एक एकल रेखा खण्ड पर स्थित बिन्दुओं का एक स्व-समान समूह है जिसमें कई अनैच्छिक गुण होते हैं। इसकी खोज 1874 में हेनरी जॉन स्टीफन स्मिथ द्वारा की गई थी तथा 1883 में जर्मन गणितज्ञ जॉर्ज कैंटर द्वारा इसका उल्लेख किया गया था।Smith Henry J.S. 1874 On the integration of discontinuous functions https://zenodo.org/record/1932560 Proceedings of the London Mathematical Society First series 6 140–153https://archive.org/details/labyrinthofthoug0000ferr Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics Ferreirós José 1999 Birkhäuser Verlag 9783034850513 Basel, Switzerland 162–165 registrationDoes God Play Dice?: The New Mathematics of Chaos https://archive.org/details/doesgodplaydicen0000stew Stewart Ian 26 June 1997 Penguin 0140256024https://archive.org/details/chaosfractals00hein Chaos and Fractals: New Frontiers of Science Peitgen H.-O. Jürgens H. Saupe D. 2004 Springer Verlag 978-1-4684-9396-2 2nd N.Y., N.Y. 65 limited जैसा कि यह एक रैखिक निरन्तरता से विपरीत है, कैंटर सेट को कैंटर डिस्कंटीनम कहा गया है। इस समूह पर विचार करके, कैंटर तथा अन्य लोगों ने आधुनिक बिन्दु-सेट स्थलविज्ञान की नींव रखने में सहाय की। सबसे सामान्य निर्माण कैंटर त्रयी सेट है, जिसे एक रेखा खण्ड के मध्य तीसरे भाग को हटाकर तथा फिर शेष छोटे खण्डों के साथ प्रक्रिया को दोहराकर बनाया गया है। कैंटर ने इस त्रयी निर्माण का उल्लेख केवल गुजरने में किया, एक आदर्श सेट के उदाहरण के रूप में जो कहीं भी घना नहीं है।Cantor Georg 1883 Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten V On infinite, linear point-manifolds (sets), Part 5 http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002247461 Mathematische Annalen de 21 545–591 10.1007/bf01446819 121930608 https://web.archive.org/web/20150924114632/http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002247461 24 सितंबर 2015 2011-01-10 bot: unknownCantor, Georg (1883). [On infinite, linear point-manifolds (sets), Part 5]. Mathematische Annalen (in German). 21: 545–591. doi:10.1007/bf01446819. S2CID 121930608. Archived from the original on 2015-09-24. Retrieved 2011-01-10. Category:CS1 German-language sources (de) center|thumb|600px|कैंटर सेट का विस्तार। सेट में प्रत्येक बिंदु को यहाँ एक ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा दर्शाया गया है। त्रिनेरी समुच्चय का निर्माण तथा सूत्र कैंटर टरनरी सेट यह लाइन सेगमेंट के एक सेट से खुले मध्य तीसरे को पुनरावृत्ति से हटाकर बनाया जाता है। एक खुले मध्य तीसरे को हटाने से शुरू होता है अन्तराल से , दो पंक्ति खण्डों को छोड़ते हुएः। इसके बाद, इन शेष खण्डों में से प्रत्येक के खुले मध्य तीसरे को हटा दिया जाता है, जिससे चार पंक्ति खंड रह जाते हैंः । कैंटर त्रयी समूह में अंतराल के सभी बिंदु शामिल हैं। जो इस अनंत प्रक्रिया में किसी भी चरण में नहीं हटाए जाते हैं। और के लिए , ताकि किसी के लिए . इस प्रक्रिया के पहले छह चरण नीचे दर्शाए गए हैं। 729px|class=skin-invert| Cantor ternary set, in seven iterations स्व-समान रूपांतरणों की अवधारणा का उपयोग करते हुए, and कैंटर सेट के लिए स्पष्ट बंद सूत्र हैं।Mohsen Soltanifar A Different Description of A Family of Middle-a Cantor Sets American Journal of Undergraduate Research 5 2 9–12 2006 10.33697/ajur.2006.014 free where every जहां प्रत्येक मध्य तिहाई को खुले अंतराल के रूप में हटा दिया जाता है बंद अंतराल से इसके चारों ओर, या जहां मध्य तीसरा उपरोक्त बंद अंतराल का प्रतिच्छेदन द्वारा हटा दिया जाता है मध्य तिहाई भाग को हटाने की यह प्रक्रिया परिमित उपविभाजन नियम का एक सरल उदाहरण है । कैंटर त्रिगुणीय समुच्चय का पूरक एक फ्रैक्टल स्ट्रिंग का उदाहरण है । सन्दर्भ श्रेणी:वास्तविक संख्याओं का समुच्चय श्रेणी:Pages with unreviewed translations