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प्रतिलोम फलन
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गणित में किसी फलन का प्रतिलोम फलन (inverse function) उस फलन को कहते हैं जो मूल फलन द्वारा किये गये परिवर्तन को बदलकर मूल रूप में ला दे। किसी फलन ƒ में x रखने पर परिणाम y मिलता है तो ƒ के प्रतिलोम फलन में y रखने पर परिणाम x मिलेगा, अर्थात् ƒ(x)=y और g(y)=x तो फलन ƒ तथा g एक-दूसरे के प्रतिलोम फलन हैं। इसी को दूसरे तरह से यों कह सकते हैं : g(ƒ(x))=x .
यदि फलन ƒ का प्रतिलोम निकाला जा सकता है तो इसे प्रतिलोमनीय अथवा व्युत्क्रमणीय (invertible) कहते हैं। इस स्थिति में ƒ के उस एकमेव (यूनिक) प्रतिलोम को ƒ−1 कहते हैं (इसे 'f इन्वर्स' वाचते हैं, इसे -1 घात नहीं समझना चाहिये)
उदाहरण के लिये, माना ƒ एक ऐसा फलन है जो सेल्सियस में ताप के मान को फारेनहाइट में बदल देता है।
f
(
C
)
=
9
5
C
+
32
;
{\displaystyle f(C)={\tfrac {9}{5}}C+32;\,\!}
तो इसका प्रतिलोम फलन वह होगा जो डिग्री फारेनहाइट को डिग्री सेल्सियस में बदल दे। अर्थात्
f
−
1
(
F
)
=
5
9
(
F
−
32
)
,
{\displaystyle f^{-1}(F)={\tfrac {5}{9}}(F-32),\,\!}
क्योंकि
f
−
1
(
f
(
C
)
)
=
f
−
1
(
9
5
C
+
32
)
=
5
9
(
(
9
5
C
+
32
)
−
32
)
=
C
{\displaystyle f^{-1}\left(\,f(C)\,\right)=f^{-1}\left(\,{\tfrac {9}{5}}C+32\,\right)={\tfrac {5}{9}}\left(\left(\,{\tfrac {9}{5}}C+32\,\right)-32\right)=C}
जो C के प्रत्येक मान के लिये सत्य है।
== प्रमुख मानक फलनों के प्रतिलोम फलन ==
== प्रतिलोम निकालने की विधियाँ ==
प्रतिलोम निकालने के लिये अलग-अलग विधिया प्रयोग करनी पड़ती है का एक तरीका यह है कि यदि प्रतिलोम का अस्तित्व है तो समीकरण को हल करें और x का मान निकालें- y = ƒ(x)
उदाहरण के लिये,
f
(
x
)
=
(
2
x
+
8
)
3
{\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}\,\!}
तो हमें y = (2x + 8)3 की सहायता से x का मान निकालना होगा:
y
=
(
2
x
+
8
)
3
y
3
=
2
x
+
8
y
3
−
8
=
2
x
y
3
−
8
2
=
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}y&=(2x+8)^{3}\\{\sqrt[{3}]{y}}&=2x+8\\{\sqrt[{3}]{y}}-8&=2x\\{\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}&=x.\end{aligned}}}
अत: प्रतिलोम फलन ƒ−1 निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जा सकता है-
f
−
1
(
y
)
=
y
3
−
8
2
.
{\displaystyle f^{-1}(y)={\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}.\,\!}
== इन्हें भी देखें ==
प्रतिलोम वृत्तीय फलन
== सन्दर्भ ==
Spivak, Michael (1994), Calculus (3rd ed.), Publish or Perish, ISBN 0914098896
Stewart, James (2002), Calculus (5th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0534393397