क्रमगुणित

+क्रमगुणित :- १ से लेकर n तक की लगातार संख्याओं के गुणनफल को क्रमगुणित कहते हैं। इसे n! से दर्शाते हैं।nn!०1१1२2३6४24५120६720७5040८40320९362880१०3628800११39916800१२479001600१३6227020800१४87178291200१५1307674368000१६20922789888000१७355687428096000१८6402373705728000१९121645100408832000२०2432902008176640000७०1.197857167 100१००9.332621544 157१००1.733368733 1000 off१०००4.023872601 2567 off३२९४6.412337688 10000 off१००००2.846259681 35659 off२५२०६1.205703438 100000 off१०००००2.824229408 456573 off२०५०२३2.503898932 1000004 off१००००००8.263931688 5565708 off१७२३५०८5.290070307 10000001 off२००००००3.776821058 11733474 off१०००००००1.202423401 65657059 off१४८४२९०८2.788662975 100000000 off गणित में किसी अऋणात्मक पूर्णांक n का क्रमगुणित या 'फैक्टोरियल' वह संख्या है जो उस पूर्णांक n तथा उस से छोटे सभी धनात्मक पूर्णांकों के गुननफल के बराबर होता है। इसे n!, से निरूपित किया जाता है। उदाहरणः 0! का मान १ होता है। गणित के अनेकों क्षेत्रों में क्रमगुणित का उपयोग करना पड़ता है, जिनमें से क्रमचय-संचय, बीजगणित तथा गणितीय विश्लेषण प्रमुख हैं। इतिहास क्रमगुणित की अवधारणा कई संस्कृतियों में स्वतंत्र रूप से उत्पन्न हुई है: भारतीय गणित में, फैक्टोरियल का सबसे पहला ज्ञात विवरण अनुयोगद्वार-सूत्र से आता है, जो जैन साहित्य के प्रामाणिक कार्यों में से एक है, जिसे 300 ईसा पूर्व से 400 ईसवी तक की तिथियां दी गई हैं। जाधव दीपक अगस्त 2021 10.18732/hssa67 History of Science in South Asia 209–231 University of Alberta Libraries Jaina Thoughts on Unity Not Being a Number 9 238656716 free . पृष्ठ 211 पर तिथि निर्धारण की चर्चा देखें। यह वस्तुओं के एक समूह के क्रमबद्ध और उलटे क्रम को अन्य ("मिश्रित") क्रमों से अलग करता है, तथा क्रमगुणित के लिए सामान्य उत्पाद सूत्र से दो घटाकर मिश्रित ऑर्डर की संख्या का मूल्यांकन करता है। क्रमचय के लिए गुणन नियम का वर्णन 6वीं शताब्दी ई. के जैन भिक्षु जिनभद्र ने भी किया था।भारतीय गणित और खगोल विज्ञान में अध्ययन: कृपाशंकर शुक्ल के चुनिंदा लेख दत्ता बिभूतिभूषण सिंह अवदेश नारायण Springer Singapore 2019 कोलाचना आदित्य Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences 356–376 Use of permutations and combinations in India 10.1007/978-981-13-7326-8_18 Bibhutibhushan Datta महेश के. रामसुब्रमण्यम के. 191141516. Revised by K. S. Shukla from a paper in Indian Journal of History of Science 27 (3): 231–249, 1992, 1189487. पृष्ठ 363 देखें हिंदू विद्वान कम से कम ११५० के बाद से क्रमगुणित सूत्रों का उपयोग कर रहे हैं, जब भास्कर द्वितीय ने अपने काम लीलावती में क्रमगुणित का उल्लेख किया था, एक समस्या के संबंध में कि विष्णु अपने चार विशिष्ट वस्तुओं (शंख, चक्र, गदा, और कमल का फूल) को अपने चार हाथों में कैसे पकड़ सकते हैं, और दस-हाथ वाले भगवान के लिए एक समान समस्या।Biggs Norman L. Norman L. Biggs May 1979 The roots of combinatorics Historia Mathematica 6 2 109–136 10.1016/0315-0860(79)90074-0 0530622 मध्य पूर्व के गणित में, सृष्टि की हिब्रू रहस्यवादी पुस्तक सेफर यतिजिराह, जो कि तल्मूडिक काल (200 से 500 ई.) की है, में 7! तक के क्रमगुणित की सूची दी गई है, जो कि हिब्रू वर्णमाला से बनने वाले शब्दों की संख्या की जांच का एक हिस्सा है। Katz Victor J. Victor J. Katz जून 1994 2 For the Learning of Mathematics 40248112 26–30 कक्षा में नृजातीय गणित 14Sefer Yetzirah at Wikisource, Chapter IV, Section 4 8वीं शताब्दी के अरब व्याकरणविद अल-खलील इब्न अहमद अल-फ़राहिदी ने भी इसी तरह के कारणों से क्रमगुणित का अध्ययन किया था। अरब गणितज्ञ इब्न अल-हेथम (जिन्हें अलहाज़ेन के नाम से भी जाना जाता है, सी. 965 - सी. 1040) क्रमगुणित को अभाज्य संख्या से जोड़ने वाले विल्सन प्रमेय को तैयार करने वाले पहले व्यक्ति थे। Rashed Roshdi Roshdi Rashed 10.1007/BF00717654 4 Archive for History of Exact Sciences fr 595903 305–321 Ibn al-Haytham et le théorème de Wilson https://archive.org/details/sim_archive-for-history-of-exact-sciences_1980_22_4/page/305 22 1980 120885025 यूरोप में, हालांकि यूनानी गणित में कुछ संयोजन शामिल थे, और प्लेटो ने एक आदर्श समुदाय की जनसंख्या के रूप में 5,040 (एक क्रमगुणित) का इस्तेमाल किया था, आंशिक रूप से इसकी विभाज्यता गुणों के कारण, Acerbi F. 10.1007/s00407-003-0067-0 6 Archive for History of Exact Sciences 41134173 2004966 465–502 On the shoulders of Hipparchus: a reappraisal of ancient Greek combinatorics 57 2003 122758966 क्रमगुणित के प्राचीन ग्रीक अध्ययन का कोई प्रत्यक्ष प्रमाण नहीं है। इसके बजाय, यूरोप में क्रमगुणित पर पहला काम यहूदी विद्वानों जैसे कि शब्बेथाई डोनोलो द्वारा किया गया था, जिसमें सेफर यतिज़िराह मार्ग की व्याख्या की गई थी।Wilson Robin Watkins John J. Combinatorics: Ancient & Modern https://archive.org/details/isbn_9780199656592 Oxford University Press 2013 978-0-19-965659-2 Victor J. Katz Victor J. Katz Chapter 4: Jewish combinatorics 109–121 पृष्ठ 111 देखें। 1677 में, ब्रिटिश लेखक फेबियन स्टेडमैन ने चेंज रिंगिंग में क्रमगुणित के अनुप्रयोग का वर्णन किया, जो एक संगीत कला है जिसमें कई ट्यून की गई घंटियों को बजाना शामिल है। Hunt Katherine May 2018 10.1215/10829636-4403136 2 Journal of Medieval and Early Modern Studies 387–412 परिवर्तन की कला: सत्रहवीं सदी के इंग्लैंड में घंटी बजाना, अनाग्राम और संयोजन की संस्कृति 48 https://ueaeprints.uea.ac.uk/id/eprint/83227/1/Accepted_Mnauscript.pdf https://archive.org/details/bim_early-english-books-1641-1700_campanalogia-or-the-art_stedman-fabian_1677 Campanalogia Stedman Fabian 1677 London 6–9 Fabian Stedman The publisher is given as "W.S." who may have been William Smith, possibly acting as agent for the Society of College Youths, to which society the "Dedicatory" is addressed. 15वीं शताब्दी के उत्तरार्ध से क्रमगुणित पश्चिमी गणितज्ञों के अध्ययन का विषय बन गया। 1494 के एक ग्रंथ में, इतालवी गणितज्ञ लुका पसिओली ने डाइनिंग टेबल व्यवस्था की एक समस्या के संबंध में 11! तक के क्रमगुणित की गणना की।Wilson Robin Watkins John J. Combinatorics: Ancient & Modern https://archive.org/details/isbn_9780199656592 Oxford University Press 2013 978-0-19-965659-2 Eberhard Knobloch Eberhard Knobloch Chapter 5: Renaissance combinatorics 123–145 पृष्ठ 126 देखें। क्रिस्टोफर क्लैवियस ने जोहान्स डी सैक्रोबोस्को के काम पर 1603 की एक टिप्पणी में फैक्टोरियल पर चर्चा की, और 1640 के दशक में, फ्रांसीसी पॉलीमैथ मैरिन मर्सेन ने क्लैवियस के काम के आधार पर, 64! तक के फैक्टोरियल की बड़ी (लेकिन पूरी तरह से सही नहीं) सारणियां प्रकाशित कीं।Knobloch 2013 130–133 घातांकीय फलन के लिए घात श्रेणी, इसके गुणांकों के लिए फैक्टोरियल के पारस्परिक के साथ, पहली बार 1676 में आइजैक न्यूटन द्वारा गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज को लिखे एक पत्र में तैयार किया गया था। Ebbinghaus H.-D. Heinz-Dieter Ebbinghaus Hermes H. Hans Hermes Hirzebruch F. Friedrich Hirzebruch Koecher M. Max Koecher Mainzer K. Klaus Mainzer Neukirch J. Jürgen Neukirch Prestel A. Remmert R. Reinhold Remmert 10.1007/978-1-4612-1005-4 0-387-97202-1 1066206 131 Springer-Verlag New York Graduate Texts in Mathematics Numbers https://books.google.com/books?id=Z53SBwAAQBAJ&pg=PA131 123 1990 क्रमगुणित पर प्रारंभिक यूरोपीय गणित के अन्य महत्वपूर्ण कार्यों में जॉन वालिस द्वारा 1685 के ग्रंथ में व्यापक कवरेज, अब्राहम डी मोइवर द्वारा 1721 में के बड़े मूल्यों के लिए उनके अनुमानित मूल्यों का एक अध्ययन, जेम्स स्टर्लिंग द्वारा डी मोइवर को 1729 का एक पत्र जिसमें बताया गया था कि स्टर्लिंग का सन्निकटन के रूप में क्या जाना जाता है, और डैनियल बर्नौली और लियोनहार्ड यूलर द्वारा उसी समय क्रमगुणित फलन के गामा फलन तक निरंतर विस्तार को सूत्रबद्ध करने का कार्य शामिल है। Dutka Jacques 10.1007/BF00389433 3 Archive for History of Exact Sciences 41133918 1171521 225–249 क्रमगुणित फलन का प्रारंभिक इतिहास https://archive.org/details/sim_archive-for-history-of-exact-sciences_1991_43_3/page/225 43 1991 122237769 एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे ने लीजेंड्रे का सूत्र शामिल किया, जिसमें अभाज्य घातों में क्रमगुणित के कारकीकरण में घातांकों का वर्णन किया गया था, संख्या सिद्धांत पर 1808 के एक पाठ में।Leonard E. Dickson Leonard Eugene Dickson History of the Theory of Numbers History of the Theory of Numbers 1 Carnegie Institution of Washington 1919 Chapter IX: Divisibility of factorials and multinomial coefficients 263–278 https://archive.org/details/historyoftheoryo01dick/page/262 See in particular p. 263. क्रमगुणित के लिए संकेतन फ्रांसीसी गणितज्ञ क्रिश्चियन क्रैम्प द्वारा 1808 में पेश किया गया था। कई अन्य संकेतन भी इस्तेमाल किए गए हैं। बाद के एक और संकेतन , जिसमें क्रमगुणित का तर्क एक बॉक्स के बाएं और निचले हिस्से से आधा घिरा हुआ था, ब्रिटेन और अमेरिका में कुछ समय के लिए लोकप्रिय था, लेकिन इसका इस्तेमाल बंद हो गया, शायद इसलिए क्योंकि इसे टाइप करना मुश्किल है। Cajori Florian Florian Cajori 448–449. Factorial "n" https://archive.org/details/AHistoryOfMathematicalNotationVolII/page/n93 71–77 The Open Court Publishing Company A History of Mathematical Notations, Volume II: Notations Mainly in Higher Mathematics A History of Mathematical Notations 1929 "फैक्टोरियल" शब्द (मूल रूप से फ्रेंच: फैक्टोरियल) का पहली बार प्रयोग 1800 में लुई फ्रांकोइस एंटोनी आर्बोगास्ट द्वारा किया गया था,https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathword/f/ Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (F) MacTutor History of Mathematics archive University of St Andrews Jeff Miller फाआ डी ब्रूनो के सूत्र पर पहले काम में, Craik Alex D. D. 10.1080/00029890.2005.11920176 2 The American Mathematical Monthly 30037410 2121322 119–130 Prehistory of Faà di Bruno's formula https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2005-02_112_2/page/119 112 2005 45380805 लेकिन अंकगणितीय प्रगति के उत्पादों की एक अधिक सामान्य अवधारणा का उल्लेख करते हुए। यह नाम जिन "कारकों" को संदर्भित करता है, वे क्रमगुणित के लिए गुणन सूत्र के पद हैं।Du calcul des dérivations Arbogast Louis François Antoine Louis François Antoine Arbogast L'imprimerie de Levrault, frères Strasbourg 1800 364–365 https://archive.org/details/ducalculdesdri00arbouoft/page/364 fr परिभाषा एक धनात्मक पूर्णांक का क्रमगुणित फलन से छोटे सभी धनात्मक पूर्णांकों के गुणनफल द्वारा परिभाषित किया जाता है। इसे उत्पाद संकेतन में और अधिक संक्षिप्त रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है यदि इस गुणन सूत्र को अंतिम पद को छोड़कर बाकी सभी पदों को रखने के लिए बदल दिया जाता है, तो यह एक छोटे क्रमगुणित के लिए समान रूप का एक गुणनफल परिभाषित करेगा। यह एक पुनरावृत्ति संबंध की ओर ले जाता है, जिसके अनुसार क्रमगुणित फलन का प्रत्येक मान पिछले मान को से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, शून्य का क्रमगुणित का क्रमगुणित है, या प्रतीकों में, है। इस परिभाषा के लिए कई प्रेरणाएँ हैं: के लिए, की परिभाषा में गुणनफल के रूप में किसी भी संख्या का गुणनफल शामिल नहीं है, और इसलिए यह व्यापक सम्मेलन का एक उदाहरण है कि खाली गुणनफल, बिना किसी कारक का गुणनफल, गुणात्मक पहचान के बराबर है।CRC Handbook of Engineering Tables Richard C. Dorf CRC Press 2003 5-5 Factorials https://books.google.com/books?id=TCLOBgAAQBAJ&pg=SA5-PA5 978-0-203-00922-2 शून्य वस्तुओं का बिल्कुल एक क्रमचय है: क्रमचय करने के लिए कुछ भी न होने पर, कुछ भी नहीं करना ही एकमात्र पुनर्व्यवस्था है।हैमकिंस जोएल डेविड जोएल डेविड हैमकिंस 978-0-262-53979-1 कैम्ब्रिज, मैसाचुसेट्स 4205951 50 एमआईटी प्रेस प्रमाण और गणित की कला https://books.google.com/books?id=Ns_tDwAAQBAJ&pg=PA50 2020 यह परिपाटी क्रमचय-संचय में कई पहचानों को उनके मापदंडों के सभी वैध विकल्पों के लिए वैध बनाती है। उदाहरण के लिए, के एक सेट से सभी तत्वों को चुनने के तरीकों की संख्या एक द्विपद गुणांक पहचान है जो केवल with के साथ वैध होगी। गोल्डनबर्ग ई. पॉल कार्टर सिंथिया जे. अक्टूबर 2017 10.5951/mathteacher.111.2.0104 2 The Mathematics Teacher 10.5951/mathteacher.111.2.0104 104–110 एक छात्र (−5) के बारे में पूछता है! 111 के साथ, क्रमगुणित के लिए पुनरावृत्ति संबंध पर वैध रहता है। इसलिए, इस परिपाटी के साथ, क्रमगुणित की पुनरावर्ती गणना के लिए आधार मामले के रूप में केवल शून्य का मान होना चाहिए, जिससे गणना सरल हो जाएगी और अतिरिक्त विशेष मामलों की आवश्यकता नहीं होगी। Haberman Bruria Averbuch Haim Caspersen Michael E. Joyce Daniel T. Goelman Don Utting Ian आधार मामलों का मामला: उन्हें पहचानना इतना मुश्किल क्यों है? पुनरावृत्ति के साथ छात्रों की कठिनाइयाँ 10.1145/544414.544441 84–88 एसोसिएशन फॉर कंप्यूटिंग मशीनरी कंप्यूटर विज्ञान शिक्षा में नवाचार और प्रौद्योगिकी पर 7वें वार्षिक SIGCSE सम्मेलन की कार्यवाही, ITiCSE 2002, आरहूस, डेनमार्क, 24-28 जून, 2002 2002 सेट करने से कई सूत्रों, जैसे कि घातांकीय फलन, को घात श्रेणी के रूप में संक्षिप्त रूप से व्यक्त करने की अनुमति मिलती है: यह विकल्प गामा फलन , से मेल खाता है और गामा फलन का सतत फलन होने के लिए यह मान होना चाहिए।विश्लेषण में हल की गई समस्याएं: जैसा कि गामा, बीटा, लीजेंड्रे और बेसेल फ़ंक्शन पर लागू होता है डोवर बुक्स ऑन मैथमेटिक्स ओरिन जे. फैरेल बर्ट्रम रॉस कूरियर कॉर्पोरेशन 1971 978-0-486-78308-6 10 https://books.google.com/books?id=fXPDAgAAQBAJ&pg=PA10 अनुप्रयोग The earliest uses of the factorial function involve counting permutations: there are different ways of arranging distinct objects into a sequence.The Book of Numbers Conway John H. Guy Richard 1998 Springer Science & Business Media 978-0-387-97993-9 en John Horton Conway Richard K. Guy 55–56 Factorial numbers Factorials appear more broadly in many formulas in combinatorics, to account for different orderings of objects. For instance the binomial coefficients count the -element combinations (subsets of elements) from a set with elements, and can be computed from factorials using the formulaGraham Knuth Patashnik 1988 156 The Stirling numbers of the first kind sum to the factorials, and count the permutations of grouped into subsets with the same numbers of cycles. Riordan John John Riordan (mathematician) 0096594 76 Chapman & Hall Wiley Publications in Mathematical Statistics An Introduction to Combinatorial Analysis https://books.google.com/books?id=Sbb_AwAAQBAJ&pg=PA76 1958 9781400854332 Another combinatorial application is in counting derangements, permutations that do not leave any element in its original position; the number of derangements of items is the nearest integer to .Graham Knuth Patashnik 1988 195 In algebra, the factorials arise through the binomial theorem, which uses binomial coefficients to expand powers of sums.Graham Knuth Patashnik 1988 162 They also occur in the coefficients used to relate certain families of polynomials to each other, for instance in Newton's identities for symmetric polynomials. Randić Milan 10.1007/BF01205340 1 Journal of Mathematical Chemistry 895533 145–152 On the evaluation of the characteristic polynomial via symmetric function theory 1 1987 121752631 Their use in counting permutations can also be restated algebraically: the factorials are the orders of finite symmetric groups.Groups and Characters Victor E. Hill Chapman & Hall 2000 1739394 978-1-351-44381-4 70 8.1 Proposition: Symmetric group Sn https://books.google.com/books?id=yjL3DwAAQBAJ&pg=PA70 In calculus, factorials occur in Faà di Bruno's formula for chaining higher derivatives. In mathematical analysis, factorials frequently appear in the denominators of power series, most notably in the series for the exponential function, and in the coefficients of other Taylor series (in particular those of the trigonometric and hyperbolic functions), where they cancel factors of coming from the th derivative of .Complexity and Criticality Advanced physics texts 1 Kim Christensen Nicholas R. Moloney Imperial College Press 2005 978-1-86094-504-5 Appendix A: Taylor expansion 341 https://books.google.com/books?id=bAIM1_EoQu0C&pg=PA341 This usage of factorials in power series connects back to analytic combinatorics through the exponential generating function, which for a combinatorial class with elements of size is defined as the power series Wilf Herbert S. Herbert Wilf 3rd 978-1-56881-279-3 2172781 22 A K Peters Wellesley, Massachusetts generatingfunctionology https://books.google.com/books?id=XOPMBQAAQBAJ&pg=PA22 2006 In number theory, the most salient property of factorials is the divisibility of by all positive integers up to , described more precisely for prime factors by Legendre's formula. It follows that arbitrarily large prime numbers can be found as the prime factors of the numbers , leading to a proof of Euclid's theorem that the number of primes is infinite. Ore Øystein Øystein Ore New York 0026059 66 McGraw-Hill Number Theory and Its History https://books.google.com/books?id=Sl_6BPp7S0AC&pg=PA66 1948 9780486656205 When is itself prime it is called a factorial prime; Caldwell Chris K. Gallot Yves 10.1090/S0025-5718-01-01315-1 237 Mathematics of Computation 1863013 441–448 On the primality of and https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_2002-01_71_237/page/441 71 2002 free relatedly, Brocard's problem, also posed by Srinivasa Ramanujan, concerns the existence of square numbers of the form . Guy Richard K. Richard K. Guy D25: Equations involving factorial 10.1007/978-0-387-26677-0 3rd 0-387-20860-7 2076335 301–302 Springer-Verlag New York Problem Books in Mathematics Unsolved Problems in Number Theory 2004 1 In contrast, the numbers must all be composite, proving the existence of arbitrarily large prime gaps.Closing the Gap: The Quest to Understand Prime Numbers Vicky Neale Vicky Neale Oxford University Press 2017 978-0-19-878828-7 146–147 https://books.google.com/books?id=T7Q1DwAAQBAJ&pg=PA146 An elementary proof of Bertrand's postulate on the existence of a prime in any interval of the form , one of the first results of Paul Erdős, was based on the divisibility properties of factorials. Erdős Pál Paul Erdős Acta Litt. Sci. Szeged de 194–198 Beweis eines Satzes von Tschebyschef Proof of a theorem of Chebyshev https://users.renyi.hu/~p_erdos/1932-01.pdf 5 1932 0004.10103 Chvátal Vašek Václav Chvátal 1.5: Erdős's proof of Bertrand's postulate https://books.google.com/books?id=_gVDEAAAQBAJ&pg=PA7 10.1017/9781108912181 978-1-108-83183-3 4282416 7–10 Cambridge University Press Cambridge, England The Discrete Mathematical Charms of Paul Erdős: A Simple Introduction 2021 242637862 The factorial number system is a mixed radix notation for numbers in which the place values of each digit are factorials. Fraenkel Aviezri S. Aviezri Fraenkel 10.1080/00029890.1985.11971550 2 The American Mathematical Monthly 2322638 777556 105–114 Systems of numeration https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1985-02_92_2/page/105 92 1985 Factorials are used extensively in probability theory, for instance in the Poisson distribution Pitman Jim 3.5: The Poisson distribution 10.1007/978-1-4612-4374-8 222–236 Springer New York Probability https://archive.org/details/probability0000pitm 1993 978-0-387-94594-1 and in the probabilities of random permutations.Pitman 1993 153 In computer science, beyond appearing in the analysis of brute-force searches over permutations,Algorithm Design Jon Kleinberg Jon Kleinberg Éva Tardos Éva Tardos Addison-Wesley 2006 55 factorials arise in the lower bound of on the number of comparisons needed to comparison sort a set of items, and in the analysis of chained hash tables, where the distribution of keys per cell can be accurately approximated by a Poisson distribution.Algorithms 4th Addison-Wesley Robert Sedgewick Robert Sedgewick (computer scientist) Kevin Wayne 2011 978-0-13-276256-4 466 https://books.google.com/books?id=idUdqdDXqnAC&pg=PA466 Moreover, factorials naturally appear in formulae from quantum and statistical physics, where one often considers all the possible permutations of a set of particles. In statistical mechanics, calculations of entropy such as Boltzmann's entropy formula or the Sackur–Tetrode equation must correct the count of microstates by dividing by the factorials of the numbers of each type of indistinguishable particle to avoid the Gibbs paradox. Quantum physics provides the underlying reason for why these corrections are necessary.Mehran Kardar Mehran Kardar Statistical Physics of Particles Statistical Physics of Particles 2007 कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस 978-0-521-87342-0 860391091 107–110, 181–184 गुण विकास और सन्निकटन thumb|फैक्टोरियल, स्टर्लिंग सन्निकटन और सरल सन्निकटन की दोहरे लघुगणकीय पैमाने पर तुलना thumb|upright=1.6|सापेक्ष त्रुटि एक संक्षिप्त स्टर्लिंग श्रृंखला बनाम पदों की संख्या में स्टर्लिंग का सन्निकटन के एक फलन के रूप में, क्रमगुणित चरघातांकीय वृद्धि की तुलना में तेज़ है, लेकिन दोहरे चरघातांकीय फलन की तुलना में अधिक धीरे-धीरे बढ़ता है। Cameron Peter J. Peter Cameron (mathematician) 2.4: Orders of magnitude 978-0-521-45133-8 12–14 Cambridge University Press Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms https://archive.org/details/combinatoricstop0000came 1994 इसकी वृद्धि दर के समान है, लेकिन एक घातांकीय कारक द्वारा धीमी है। इस परिणाम तक पहुँचने का एक तरीका क्रमगुणित का प्राकृतिक लघुगणक लेना है, जो इसके उत्पाद सूत्र को योग में बदल देता है, और फिर एक समाकल द्वारा योग का अनुमान लगाता है: परिणाम को घातांकित करना (और नगण्य पद को अनदेखा करना) को के रूप में सन्निकट करता है। Magnus Robert 11.10: Stirling's approximation https://books.google.com/books?id=5hvxDwAAQBAJ&pg=PA391 10.1007/978-3-030-46321-2 978-3-030-46321-2 Cham 4178171 391 Springer Springer Undergraduate Mathematics Series मौलिक गणितीय विश्लेषण 2020 226465639 }} ट्रेपेज़ॉइड नियम का उपयोग करके, ऊपर और नीचे दोनों योग को एक समाकल द्वारा अधिक सावधानी से बांधने से पता चलता है कि इस अनुमान को एक सुधार कारक की आवश्यकता है जो के समानुपाती हो। इस सुधार के लिए आनुपातिकता का स्थिरांक वालिस उत्पाद से पाया जा सकता है, जो को क्रमगुणित और दो की घातों के सीमित अनुपात के रूप में व्यक्त करता है। इन सुधारों का परिणाम स्टर्लिंग का सन्निकटन है: Palmer Edgar M. Appendix II: Stirling's formula 0-471-81577-2 Chichester 795795 127–128 John Wiley & Sons Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics Graphical Evolution: An introduction to the theory of random graphs https://archive.org/details/graphicalevoluti0000palm 1985 यहाँ, प्रतीक का अर्थ है कि, जैसे-जैसे अनंत की ओर जाता है, बाएँ और दाएँ पक्षों के बीच का अनुपात सीमा में एक के करीब पहुँचता है। स्टर्लिंग का सूत्र असममितीय श्रृंखला में पहला पद प्रदान करता है जो अधिक संख्या में पदों के लिए ले जाने पर और भी अधिक सटीक हो जाता है: Chen Chao-Ping Lin Long 10.1016/j.aml.2012.06.025 12 Applied Mathematics Letters 2967837 2322–2326 Remarks on asymptotic expansions for the gamma function 25 2012 free एक वैकल्पिक संस्करण सुधार पदों में केवल विषम घातांक का उपयोग करता है: इन सूत्रों के कई अन्य रूप भी श्रीनिवास रामानुजन, बिल गोस्पर, और अन्य द्वारा विकसित किए गए हैं। तुलना सॉर्टिंग का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले क्रमगुणित के बाइनरी लघुगणक को स्टर्लिंग के सन्निकटन का उपयोग करके बहुत सटीक रूप से अनुमानित किया जा सकता है। नीचे दिए गए सूत्र में, पद बड़ा O संकेतन को आमंत्रित करता है।द आर्ट ऑफ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग, खंड 3: सॉर्टिंग एंड सर्चिंग Donald E. Knuth Donald Knuth 2nd Addison-Wesley 1998 978-0-321-63578-5 182 https://books.google.com/books?id=cYULBAAAQBAJ&pg=PA182 विभाज्यता और अंक लेजेंड्रे का सूत्र The product formula for the factorial implies that is divisible by all prime numbers that are at most , and by no larger prime numbers.Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains Dover Recreational Math Series Albert H. Beiler Courier Corporation 1966 2nd 978-0-486-21096-4 49 https://books.google.com/books?id=NbbbL9gMJ88C&pg=PA49 More precise information about its divisibility is given by Legendre's formula, which gives the exponent of each prime in the prime factorization of asChvátal 2021. "1.4: Legendre's formula". pp. 6–7. Robert Alain M. Alain M. Robert 3.1: The -adic valuation of a factorial 10.1007/978-1-4757-3254-2 0-387-98669-3 1760253 241–242 Springer-Verlag New York Graduate Texts in Mathematics A Course in -adic Analysis 198 2000 Here denotes the sum of the base- digits of , and the exponent given by this formula can also be interpreted in advanced mathematics as the p-adic valuation of the factorial. Applying Legendre's formula to the product formula for binomial coefficients produces Kummer's theorem, a similar result on the exponent of each prime in the factorization of a binomial coefficient. Peitgen Heinz-Otto Peitgen Heinz-Otto Jürgens Hartmut Hartmut Jürgens Saupe Dietmar Dietmar Saupe Kummer's result and Legendre's identity 10.1007/b97624 New York 399–400 Springer Chaos and Fractals: New Frontiers of Science 2004 978-1-4684-9396-2 Grouping the prime factors of the factorial into prime powers in different ways produces the multiplicative partitions of factorials.Alladi Krishnaswami Grinstead Charles Krishnaswami Alladi On the decomposition of n! into prime powers Journal of Number Theory 1977 en 9 4 452–458 10.1016/0022-314x(77)90006-3 free The special case of Legendre's formula for gives the number of trailing zeros in the decimal representation of the factorials. According to this formula, the number of zeros can be obtained by subtracting the base-5 digits of from , and dividing the result by four.A027868 Number of trailing zeros in n!; highest power of 5 dividing n! Legendre's formula implies that the exponent of the prime is always larger than the exponent for , so each factor of five can be paired with a factor of two to produce one of these trailing zeros.Elementary Number Theory with Applications Thomas Koshy 2nd Elsevier 2007 978-0-08-054709-1 Example 3.12 178 https://books.google.com/books?id=d5Z5I3gnFh0C&pg=PA178 The leading digits of the factorials are distributed according to Benford's law. Diaconis Persi Persi Diaconis 10.1214/aop/1176995891 1 Annals of Probability 422186 72–81 The distribution of leading digits and uniform distribution mod 1 https://archive.org/details/sim_annals-of-probability_1977-02_5_1/page/72 5 1977 free Every sequence of digits, in any base, is the sequence of initial digits of some factorial number in that base.Bird R. S. Richard Bird (computer scientist) 10.1080/00029890.1972.11993051 The American Mathematical Monthly 2978087 302553 367–370 Integers with given initial digits https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1972-04_79_4/page/367 79 1972 4 Another result on divisibility of factorials, Wilson's theorem, states that is divisible by if and only if is a prime number. For any given integer , the Kempner function of is given by the smallest for which divides . 2972639 A. J. Kempner Miscellanea https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1918-05_25_5/page/201 The American Mathematical Monthly 25 201–210 1918 10.2307/2972639 5 For almost all numbers (all but a subset of exceptions with asymptotic density zero), it coincides with the largest prime factor of .The smallest factorial that is a multiple of n (solution to problem 6674) The American Mathematical Monthly 101 1994 179 http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~marin/une_autre_crypto/articles_et_extraits_livres/irationalite/Erdos_P._Kastanas_I.The_smallest_factorial...-.pdf Paul Erdős Paul Erdős Ilias Kastanas 10.2307/2324376 2324376. The product of two factorials, , always evenly divides . There are infinitely many factorials that equal the product of other factorials: if is itself any product of factorials, then equals that same product multiplied by one more factorial, . The only known examples of factorials that are products of other factorials but are not of this "trivial" form are , , and .Guy 2004. "B23: Equal products of factorials". p. 123. It would follow from the abc conjecture that there are only finitely many nontrivial examples. Luca Florian Florian Luca 10.1017/S0305004107000308 3 Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 2373957 533–542 On factorials which are products of factorials 143 2007 2007MPCPS.143..533L 120875316 The greatest common divisor of the values of a primitive polynomial of degree over the integers evenly divides . Bhargava Manjul Manjul Bhargava https://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/the-factorial-function-and-generalizations The factorial function and generalizations The American Mathematical Monthly 107 2000 783–799 10.2307/2695734 9 2695734 10.1.1.585.2265 9 जून 2024 29 मई 2024 https://web.archive.org/web/20240529022314/https://maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/the-factorial-function-and-generalizations dead निरंतर प्रक्षेप और गैर-पूर्णांक सामान्यीकरण thumb|upright=1.6|गामा फलन (क्रमगुणित से मिलान करने के लिए एक इकाई बाईं ओर स्थानांतरित) क्रमगुणित को गैर-पूर्णांक मानों में लगातार प्रक्षेपित करता है thumb|जटिल गामा फलन के निरपेक्ष मान, गैर-धनात्मक पूर्णांकों पर ध्रुवों को दर्शाते हुए गामा फलन There are infinitely many ways to extend the factorials to a continuous function. The most widely used of these uses the gamma function, which can be defined for positive real numbers as the integral The resulting function is related to the factorial of a non-negative integer by the equation which can be used as a definition of the factorial for non-integer arguments. At all values for which both and are defined, the gamma function obeys the functional equation generalizing the recurrence relation for the factorials. Davis Philip J. Philip J. Davis 10.1080/00029890.1959.11989422 The American Mathematical Monthly 2309786 106810 849–869 Leonhard Euler's integral: A historical profile of the gamma function https://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/leonhard-eulers-integral-an-historical-profile-of-the-gamma-function 66 1959 10 9 जून 2024 1 जनवरी 2023 https://web.archive.org/web/20230101190952/https://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/leonhard-eulers-integral-an-historical-profile-of-the-gamma-function dead The same integral converges more generally for any complex number whose real part is positive. It can be extended to the non-integer points in the rest of the complex plane by solving for Euler's reflection formula However, this formula cannot be used at integers because, for them, the term would produce a division by zero. The result of this extension process is an analytic function, the analytic continuation of the integral formula for the gamma function. It has a nonzero value at all complex numbers, except for the non-positive integers where it has simple poles. Correspondingly, this provides a definition for the factorial at all complex numbers other than the negative integers. Borwein Jonathan M. Jonathan Borwein Corless Robert M. 10.1080/00029890.2018.1420983 5 The American Mathematical Monthly 3785875 400–424 Gamma and factorial in the Monthly 125 2018 1703.05349 119324101 One property of the gamma function, distinguishing it from other continuous interpolations of the factorials, is given by the Bohr–Mollerup theorem, which states that the gamma function (offset by one) is the only log-convex function on the positive real numbers that interpolates the factorials and obeys the same functional equation. A related uniqueness theorem of Helmut Wielandt states that the complex gamma function and its scalar multiples are the only holomorphic functions on the positive complex half-plane that obey the functional equation and remain bounded for complex numbers with real part between 1 and 2. Remmert Reinhold Reinhold Remmert 10.1080/00029890.1996.12004726 3 The American Mathematical Monthly 2975370 1376175 214–220 Wielandt's theorem about the -function https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1996-03_103_3/page/214 103 1996 Other complex functions that interpolate the factorial values include Hadamard's gamma function, which is an entire function over all the complex numbers, including the non-positive integers.J. Hadamard Jacques Hadamard Sur l'expression du produit 1·2·3· · · · ·(n−1) par une fonction entière Œuvres de Jacques Hadamard Centre National de la Recherche Scientifiques Paris 1968 http://www.luschny.de/math/factorial/hadamard/HadamardFactorial.pdf 1894 fr Alzer Horst 10.1007/s12188-008-0009-5 1 Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 2541340 11–23 A superadditive property of Hadamard's gamma function 79 2009 123691692 In the p-adic numbers, it is not possible to continuously interpolate the factorial function directly, because the factorials of large integers (a dense subset of the p-adics) converge to zero according to Legendre's formula, forcing any continuous function that is close to their values to be zero everywhere. Instead, the p-adic gamma function provides a continuous interpolation of a modified form of the factorial, omitting the factors in the factorial that are divisible by p.Robert 2000. "7.1: The gamma function ". pp. 366–385. The digamma function is the logarithmic derivative of the gamma function. Just as the gamma function provides a continuous interpolation of the factorials, offset by one, the digamma function provides a continuous interpolation of the harmonic numbers, offset by the Euler–Mascheroni constant. Ross Bertram 10.1080/0025570X.1978.11976704 3 Mathematics Magazine 2689999 1572267 176–179 The psi function https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1978-05_51_3/page/176 51 1978 गणना thumb|TI SR-50A, एक 1975 कैलकुलेटर जिसमें क्रमगुणित कुंजी है (तीसरी पंक्ति, बीच में दाईं ओर) क्रमगुणित फलन वैज्ञानिक कैलकुलेटर में एक सामान्य विशेषता है।Understandable Statistics: Concepts and Methods Charles Henry Brase Corrinne Pellillo Brase 11th Cengage Learning 2014 978-1-305-14290-9 182 https://books.google.com/books?id=a8OiAgAAQBAJ&pg=PA182 इसे वैज्ञानिक प्रोग्रामिंग लाइब्रेरीज़ जैसे कि पायथन गणितीय फलन मॉड्यूल में भी शामिल किया गया है।https://docs.python.org/3/library/math.html math — Mathematical functions Python 3 Documentation: The Python Standard Library 2021-12-21 and the Boost C++ library.https://www.boost.org/doc/libs/1_78_0/libs/math/doc/html/math_toolkit/factorials/sf_factorial.html Factorial Boost 1.78.0 Documentation: Math Special Functions 2021-12-21 If efficiency is not a concern, computing factorials is trivial: just successively multiply a variable initialized to by the integers up to . The simplicity of this computation makes it a common example in the use of different computer programming styles and methods.Drawing Programs: The Theory and Practice of Schematic Functional Programming Tom Addis Jan Addis Springer 2009 978-1-84882-618-2 149–150 https://books.google.com/books?id=cWM7ZBfEl_0C&pg=PA149 The computation of can be expressed in pseudocode using iterationMATLAB Programming for Engineers Stephen J. Chapman 6th Cengage Learning 2019 978-0-357-03052-3 215 Example 5.2: The factorial function https://books.google.com/books?id=jVEzEAAAQBAJ&pg=PA215 as define factorial(n): f := 1 for i := 1, 2, 3, ..., n: f := f * i return f or using recursionThe Computing Universe: A Journey through a Revolution Tony Hey Gyuri Pápay Cambridge University Press 2014 9781316123225 64 https://books.google.com/books?id=q4FIBQAAQBAJ&pg=PA64 based on its recurrence relation as define factorial(n): if (n = 0) return 1 return n * factorial(n − 1) Other methods suitable for its computation include memoization,Hands-On Functional Programming with C++: An effective guide to writing accelerated functional code using C++17 and C++20 Alexandru Bolboaca Packt Publishing 2019 978-1-78980-921-3 188 https://books.google.com/books?id=GwSgDwAAQBAJ&pg=PA188 dynamic programming,Mastering Mathematica: Programming Methods and Applications John W. Gray Academic Press 2014 978-1-4832-1403-0 233–234 https://books.google.com/books?id=a4riBQAAQBAJ&pg=PA233 and functional programming.Scala From a Functional Programming Perspective: An Introduction to the Programming Language 9980 Lecture Notes in Computer Science Vicenç Torra Springer 2016 978-3-319-46481-7 96 https://books.google.com/books?id=eMwcDQAAQBAJ&pg=PA96 The computational complexity of these algorithms may be analyzed using the unit-cost random-access machine model of computation, in which each arithmetic operation takes constant time and each number uses a constant amount of storage space. In this model, these methods can compute in time , and the iterative version uses space . Unless optimized for tail recursion, the recursive version takes linear space to store its call stack.Functional Programming and Its Applications: An Advanced Course Cambridge University Press CREST Advanced Courses LISP, programming, and implementation Gerald Jay Sussman Gerald Jay Sussman 1982 29–72 978-0-521-24503-6 See in particular p. 34. However, this model of computation is only suitable when is small enough to allow to fit into a machine word. Chaudhuri Ranjan June 2003 10.1145/782941.782977 2 ACM SIGCSE Bulletin 43–44 Association for Computing Machinery Do the arithmetic operations really execute in constant time? 35 13629142 The values 12! and 20! are the largest factorials that can be stored in, respectively, the 32-bit and 64-bit integers. Winkler Jürgen F. H. Kauer Stefan March 1997 10.1145/251634.251638 3 ACM SIGPLAN Notices 38–41 Association for Computing Machinery Proving assertions is also useful 32 17347501 free Floating point can represent larger factorials, but approximately rather than exactly, and will still overflow for factorials larger than .http://people.eecs.berkeley.edu/~fateman/papers/factorial.pdf Comments on Factorial Programs April 11, 2006 University of California, Berkeley Richard J. Fateman Richard Fateman 9 जून 2024 25 जुलाई 2024 https://web.archive.org/web/20240725041752/https://people.eecs.berkeley.edu/~fateman/papers/factorial.pdf dead The exact computation of larger factorials involves arbitrary-precision arithmetic, because of fast growth and integer overflow. Time of computation can be analyzed as a function of the number of digits or bits in the result. By Stirling's formula, has bits. The Schönhage–Strassen algorithm can produce a -bit product in time , and faster multiplication algorithms taking time are known. Harvey David van der Hoeven Joris Joris van der Hoeven 10.4007/annals.2021.193.2.4 2 Annals of Mathematics 4224716 563–617 Second Series Integer multiplication in time 193 2021 109934776 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02070778/file/nlogn.pdf However, computing the factorial involves repeated products, rather than a single multiplication, so these time bounds do not apply directly. In this setting, computing by multiplying the numbers from 1 to in sequence is inefficient, because it involves multiplications, a constant fraction of which take time each, giving total time . A better approach is to perform the multiplications as a divide-and-conquer algorithm that multiplies a sequence of numbers by splitting it into two subsequences of numbers, multiplies each subsequence, and combines the results with one last multiplication. This approach to the factorial takes total time : one logarithm comes from the number of bits in the factorial, a second comes from the multiplication algorithm, and a third comes from the divide and conquer.Arndt Jörg Matters Computational: Ideas, Algorithms, Source Code Springer 2011 http://jjj.de/fxt/fxtbook.pdf 34.1.1.1: Computation of the factorial 651–652 See also "34.1.5: Performance", pp. 655–656. Even better efficiency is obtained by computing n! from its prime factorization, based on the principle that exponentiation by squaring is faster than expanding an exponent into a product. Borwein Peter B. Peter Borwein 10.1016/0196-6774(85)90006-9 3 Journal of Algorithms 800727 376–380 On the complexity of calculating factorials https://archive.org/details/journal-of-algorithms_1985-09_6_3/page/376 6 1985Arnold Schönhage 1994 Fast algorithms: a multitape Turing machine implementation B.I. Wissenschaftsverlag 226 An algorithm for this by Arnold Schönhage begins by finding the list of the primes up to , for instance using the sieve of Eratosthenes, and uses Legendre's formula to compute the exponent for each prime. Then it computes the product of the prime powers with these exponents, using a recursive algorithm, as follows: Use divide and conquer to compute the product of the primes whose exponents are odd Divide all of the exponents by two (rounding down to an integer), recursively compute the product of the prime powers with these smaller exponents, and square the result Multiply together the results of the two previous steps The product of all primes up to is an -bit number, by the prime number theorem, so the time for the first step is , with one logarithm coming from the divide and conquer and another coming from the multiplication algorithm. In the recursive calls to the algorithm, the prime number theorem can again be invoked to prove that the numbers of bits in the corresponding products decrease by a constant factor at each level of recursion, so the total time for these steps at all levels of recursion adds in a geometric series to . The time for the squaring in the second step and the multiplication in the third step are again , because each is a single multiplication of a number with bits. Again, at each level of recursion the numbers involved have a constant fraction as many bits (because otherwise repeatedly squaring them would produce too large a final result) so again the amounts of time for these steps in the recursive calls add in a geometric series to . Consequentially, the whole algorithm takes time , proportional to a single multiplication with the same number of bits in its result. संबंधित अनुक्रम एवं फलन फैक्टोरियल और द्विपद विषयों की सूची कई अन्य पूर्णांक अनुक्रम क्रमगुणित के समान या उससे संबंधित हैं: प्रत्यावर्ती क्रमगुणित प्रत्यावर्ती क्रमगुणित पहले क्रमगुणित के प्रत्यावर्ती योग का निरपेक्ष मान है, इनका अध्ययन मुख्यतः उनकी प्रधानता के संबंध में किया गया है; इनमें से केवल सीमित संख्या में ही अभाज्य संख्याएं हो सकती हैं, लेकिन इस रूप के अभाज्य संख्याओं की पूरी सूची ज्ञात नहीं है।Guy 2004. "B43: Alternating sums of factorials". pp. 152–153. भार्गव क्रमगुणित भार्गव क्रमगुणित, मंजुल भार्गव द्वारा परिभाषित पूर्णांक अनुक्रमों का एक परिवार है, जिसमें क्रमगुणित के समान संख्या-सैद्धांतिक गुण होते हैं, जिसमें एक विशेष मामले के रूप में क्रमगुणित स्वयं भी शामिल होते हैं। दोहरा क्रमगुणित किसी विषम धनात्मक पूर्णांक तक के सभी विषम पूर्णांकों के गुणनफल को का दोहरा क्रमगुणित कहा जाता है, तथा इसे द्वारा दर्शाया जाता है।A combinatorial survey of identities for the double factorial David Callan 0906.1317 2009 math.CO}} That is, For example, 9!! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945. दोहरे क्रमगुणित का उपयोग त्रिकोणमितीय इंटीग्रल में, Meserve B. E. 10.2307/2306136 7 The American Mathematical Monthly 1527019 425–426 Classroom Notes: Double Factorials https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_august-september-1948_55_7/page/425 55 1948 2306136 अर्ध-पूर्णांक पर गामा फलन और हाइपरस्फेयर के आयतन के लिए अभिव्यक्तियों में,Some dimension problems in molecular databases Paul G. Mezey 2009 Journal of Mathematical Chemistry 45 1 1–6 10.1007/s10910-008-9365-8 120103389. और बाइनरी ट्री और परफेक्ट मैचिंग की गिनती में किया जाता है। Dale M. R. T. Moon J. W. 10.1016/0378-3758(93)90035-5 1 Journal of Statistical Planning and Inference 1209991 75–87 The permuted analogues of three Catalan sets https://archive.org/details/sim_journal-of-statistical-planning-and-inference_1993-01_34_1/page/75 34 1993. घातांकीय क्रमगुणित जैसे कि त्रिकोणीय संख्याएँ से तक की संख्याओं का योग करती हैं और फैक्टोरियल उनका गुणनफल लेते हैं, वैसे ही घातांकीय फैक्टोरियल घातांकित होता है। घातांकीय फैक्टोरियल को पुनरावर्ती रूप से के रूप में परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, 4 का घातांकीय भाज्य है। ये संख्याएं नियमित भाज्य की तुलना में बहुत तेजी से बढ़ती हैं। Luca Florian Florian Luca Marques Diego 3 Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 2769339 703–718 Perfect powers in the summatory function of the power tower http://jtnb.cedram.org/item?id=JTNB_2010__22_3_703_0 22 2010 10.5802/jtnb.740 free 21 जून 2024 3 जून 2018 https://web.archive.org/web/20180603114906/http://jtnb.cedram.org/item?id=JTNB_2010__22_3_703_0 dead Falling factorial The notations or are sometimes used to represent the product of the integers counting up to and including , equal to . This is also known as a falling factorial or backward factorial, and the notation is a Pochhammer symbol.Graham Knuth Patashnik 1988 x, 47–48 Falling factorials count the number of different sequences of distinct items that can be drawn from a universe of items. Sagan Bruce E. Bruce Sagan Theorem 1.2.1 https://books.google.com/books?id=DYgEEAAAQBAJ&pg=PA5 978-1-4704-6032-7 Providence, Rhode Island 4249619 5 American Mathematical Society Graduate Studies in Mathematics Combinatorics: the Art of Counting 210 2020 They occur as coefficients in the higher derivatives of polynomials,G. H. Hardy G. H. Hardy A Course of Pure Mathematics A Course of Pure Mathematics 3rd Cambridge University Press 1921 Examples XLV 215 https://archive.org/details/coursepuremath00hardrich/page/n229 and in the factorial moments of random variables. Daley D. J. Vere-Jones D. 5.2: Factorial moments, cumulants, and generating function relations for discrete distributions https://books.google.com/books?id=Af7lBwAAQBAJ&pg=PA112 0-387-96666-8 New York 950166 112 Springer-Verlag Springer Series in Statistics An Introduction to the Theory of Point Processes 1988 Hyperfactorials The hyperfactorial of is the product . These numbers form the discriminants of Hermite polynomials.A002109 Hyperfactorials: Product_{k = 1..n} k^k They can be continuously interpolated by the K-function, Kinkelin H. Hermann Kinkelin 10.1515/crll.1860.57.122 Journal für die reine und angewandte Mathematik de 122–138 Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechung On a transcendental variation of the gamma function and its application to the integral calculus 1860 1860 57 120627417 and obey analogues to Stirling's formula Glaisher J. W. L. James Whitbread Lee Glaisher Messenger of Mathematics 43–47 On the product 11.22.33...nn https://archive.org/details/messengermathem01glaigoog/page/n56 7 1877 and Wilson's theorem. Aebi Christian Cairns Grant 10.4169/amer.math.monthly.122.5.433 5 The American Mathematical Monthly 10.4169/amer.math.monthly.122.5.433 3352802 433–443 Generalizations of Wilson's theorem for double-, hyper-, sub- and superfactorials https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2015-05_122_5/page/433 122 2015 207521192 Jordan–Pólya numbers The Jordan–Pólya numbers are the products of factorials, allowing repetitions. Every tree has a symmetry group whose number of symmetries is a Jordan–Pólya number, and every Jordan–Pólya number counts the symmetries of some tree.A001013 Jordan-Polya numbers: products of factorial numbers Primorial The primorial is the product of prime numbers less than or equal to ; this construction gives them some similar divisibility properties to factorials, but unlike factorials they are squarefree. Nelson Randolph 10.1007/978-3-030-37861-5 978-3-030-37861-5 Cham 4297795 127 Springer A Brief Journey in Discrete Mathematics https://books.google.com/books?id=m8PPDwAAQBAJ&pg=PA127 2020 213895324 As with the factorial primes , researchers have studied primorial primes . Subfactorial The subfactorial yields the number of derangements of a set of objects. It is sometimes denoted , and equals the closest integer to .Graham Knuth Patashnik 1988 195 Superfactorial The superfactorial of is the product of the first factorials. The superfactorials are continuously interpolated by the Barnes G-function.Barnes E. W. Ernest Barnes 30.0389.02 The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 264–314 The theory of the G-function https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN600494829_0031?tify={%22pages%22:[268],%22view%22:%22toc%22} 31 1900 इन्हें भी देखें गामा फलन क्रमचय-संचय सन्दर्भ बाहरी कड़ियाँ सन्निकटन सूत्र क्रमगुणित नोटेशन n! के बारे में सब कुछ "डबल क्रमगुणित व्युत्पन्न" क्रमगुणित कैलकुलेटर और एल्गोरिदम क्रमगुणित कैलकुलेटर: तुरन्त 10^14! तक के क्रमगुणित ढूंढता है एनिमेटेड क्रमगुणित कैलकुलेटर: सामान्य प्राथमिक विद्यालय के एग्लॉरिथम का उपयोग करके हाथ से गणना किए गए क्रमगुणित को दर्शाता है "क्रमगुणित" एड पेग, जूनियर और रॉब मॉरिस द्वारा, वोल्फ्राम डेमोंस्ट्रेशन प्रोजेक्ट, 2007. तेज़ क्रमगुणित फलन (जावा, सी#, सी++, स्काला और गो में स्रोत कोड के साथ) श्रेणी:क्रमचय-संचय