अभिलक्षणिक बहुपद

रैखिक बीजगणित में प्रत्येक वर्ग मैट्रिक्स के सहवर्ती एक लाक्षणिक बहुपद (characteristic polynomial) परिभाषित किया जाता है। किसी वर्ग मैट्रिक्स का लाक्षणिक बहुपद बहुत उपयोगी परिकल्पना है - इससे उस वर्ग मैट्रिक्स में निहित (छिपी हुई) बहुत से महत्वपूर्ण गुण बाहर आ जाते हैं। लाक्षणिक बहुपद के द्वारा आइगेनमान (eigenvalues), मैट्रिस का सारणिक (determinant) तथा इसके ट्रेस (trace) का ज्ञान हो जाता है। परिचय वर्ग मैट्रिक्स A दिया हुआ है और हम वह बहुपद ज्ञात करना चाहते हैं जिसके मूल A के आइगनमानों के बराबर हों। कोई अदिश λ, A का एक आइगनमान तभी और केवल तभी हो सकता है है यदि आइगनसदिश (eigenvector) निम्नलिखित सम्बन्ध को संतुष्ट करता है - या, (यहाँ I आइडेन्टिटी मैट्रिक्स है। चूंकि v अशून्य है, इसलिये मैट्रिक्स λI − A सिंगुलर मैट्रिक्स होगी। इसका अर्थ यह हुआ कि इसका सारणिक (determinant) शून्य होगा और इसका व्युत्क्रम नहीं निकाला जा सकता) इस प्रकार फलन det(λ I − A) के मूल, A के आइगनमानों के बराबर होंगे। यह भी स्पष्ट है कि यह सारणिक वस्तुत: λ का एक बहुपद होगा। उदाहरण माना कि हम निम्नलिखित मैट्रिक्स का लाक्षणिक बहुपद निकालना चाहते हैं - इसके लिये हमें निम्नलिखित मैट्रिक्स का सारणिक ज्ञात करना पड़ेगा- और इस मैट्रिक्स का सारणिक का मान निकालने पर- यही मैट्रिक A का लाक्षणिक बहुपद है। लाक्षणिक बहुपद के गुणधर्म लाक्षणिक बहुपद का सबसे महत्वपूर्ण गुण यह है कि इसके मूल वही होते हैं जो मैट्रिक्स A के आइगनमान। लाक्षणिक बहुपद का घात मैट्रिक्स A के आर्दर के बराबर होता है। इन्हें भी देखें रैखिक अवकल समीकरण (Linear differential equation) श्रेणी:Polynomials श्रेणी:Linear algebra श्रेणी:Tensors