अपसारी श्रेणी

गणित में अपसारी श्रेणी एक अनन्त श्रेणी है जो अभिसारी नहीं है, मतलब यह कि श्रेणी के आंशिक योग का अनन्त अनुक्रम का सीमान्त मान नहीं होता। यदि एक श्रेणी अभिसरण करती है तो इसका व्याष्‍टिकारी पद (nवाँ पद जहाँ n अनन्त की ओर अग्रसर है।) शून्य की ओर अग्रसर होना चहिए। अतः कोई भी श्रेणी जिसका व्याष्‍टिकारी पद शून्य की ओर अग्रसर नहीं होता तो वह अपसारी होती है। तथापि अभिसरण की शर्त थोडी प्रबल है: जिस श्रेणियों का व्याष्‍टिकारी पद शून्य की ओर अग्रसर हो वह आवश्यक रूप से अभिसारी नहीं होती। इसका एक गणनीय उदाहरण निम्न हरात्मक श्रेणी है: हरात्मक श्रेणी का अपसरण मध्यकालीन गणितज्ञ निकोल ऑरेसम द्वारा सिद्ध किया जा चुका है। अबेलियन माध्य एबल संकलन (Abel summation) यदि λn = n, तब हमें एबल संकलन विधि से प्राप्त होती है। यहाँ जहाँ z = exp(−x) है। अतः जैसे ही x यदि धनात्मक दिशा की ओर से शून्य की ओर अग्रसर है तो सीमा का मान f(x) धनात्मक वास्तविक संख्याओं की तरफ से z एक (1) की ओर अग्रसर है तो f(z) की घातीय श्रेणी के लिए सीमा होगी और एबल संकलन A(s) निम्न प्रकार परिभाषित है: एबल संकलन रोचक है क्योंकि इसका संगत हल सिसैरा-संकलन से अधिक प्रबल है: A(s) = Ck(s) जब भी उत्तरवर्ती परिभाषित हो। लिन्डलाफ संकलन यदि 1 = λn = n ln(n), तब (एक से अनुक्रमण) तब L(s), लिन्डलाफ संकलन वोलकॉव 2001, जैसे x शून्य की ओर अग्रसर हो तो ƒ(x) होगा। लिन्डलाफ संकलन एक लाभदायक विधि है जब अन्य अनुप्रयोगों के मध्य एक घातीय श्रेणी पर लागू किया जाता है। यदि g(z) चकती के शून्य के चारों ओर विश्‍लेषणात्मक है और अतः धनात्मक त्रिज्या के अभिसरण सहित मैक्लारिन श्रेणी G(z) है, तब मित्ताग-लेफ्फ्लेर सितारा (*) में L(G(z)) = g(z)। इसके अतिरिक्त g(z) का अभिसरण इस सितारे के संहत उपसमुच्चय एकरूप है। ये भी देखें अनन्त श्रेणी अभिसारी श्रेणी 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ बोरल संकलन ऑयलर संकलन लैम्बर्ट संकलन सन्दर्भ लार्ज-आर्डर पर्टबेशन थ्योरी एंड सम्मेशन मेथड्स इन क्वांटम मैकेनिक्स जी॰ ए॰ आर्टेका एफ॰ एम॰ फेर्नान्देज़ ई॰ ए॰ कास्त्रो स्प्रिंगर-वेरलेग बर्लिन 1990. Padé Approximants जी॰ ए॰ बाकर, जूनियर पी॰ ग्रेवज-मोर्रिस कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस 1996। Extrapolation Methods. Theory and Practice सी॰ ब्रेज़िन्सकी एम॰ रेडिवो ज़गलिया उत्तर हॉलैंड 1991। अपसारी श्रेणी (Divergent Series) जी॰ एच॰ हार्डी :en:G. H. Hardy ऑक्सफ़ोर्ड क्लेरेंडॉन प्रेस 1949 http://www.archive.org/details/divergentseries033523mbp 27 मई 2013 https://web.archive.org/web/20130616154729/http://archive.org/details/divergentseries033523mbp 16 जून 2013 live। Large-Order Behaviour of Perturbation Theory जे॰-सी॰ LeGuillou जे॰ Zinn-Justin उत्तर हॉलैंड Amsterdam 1990. l/l058990 Lindelöf summation method आय॰ आय॰ वोलकॉव 2001। a/a010170 हाबिल संकलन विधि (Abel summation method) ए॰ ए॰ ज़खरॉव 2001। श्रेणी:अपसारी श्रेणी श्रेणी:गणितीय श्रेणी श्रेणी:संकलनीयता विधि श्रेणी:उपगामी विश्लेषण श्रेणी:संकलनीयता सिद्धांत