१ − २ + ४ − ८ + · · ·

गणित में 1 - 2 + 4 - 8 + · · · एक अनन्त श्रेणी है जिसके व्यंजक उत्तरोतर दो की घात के रूप में हैं। एक गुणोत्तर श्रेणी के रूप में इसका प्रथम पद 1, है और सार्वानुपात -2 है। एक वास्तविक संख्याओं की श्रेणी के रूप में यह अनन्त पर अपसरण करती है, अतः वास्तविक परिदृश्य में इसका संकलन महत्व हीन है। विस्तृत रूप से देखने पर श्रेणी का व्यापक संकलन ⅓ है। ऐतिहासिक तर्क आधुनिक विधियाँ गुणोत्तर श्रेणी यहाँ पर a= 1 और r = - 2 है अतः संकलन का मान ⅓ होगा। आयलर संकलन लियोनार्ड ऑयलर ने अभिसारी श्रेणी ½ − ¼ + ⅛ − 1/16 + ... से 1 - 2 + 3 - 4 + · · · के रूपांतरण का अध्ययन किया जिसे अब ऑयलर रूपांतर के रूप में जाना जाता है। ऑयलर ने निष्कर्ष निकाला कि 1 − 2 + 4 − 8 + ... = ⅓Euler p.234। उनके अनन्त श्रेणी के संकलन से सम्बंधित विचार आधुनिक पहुँच से मेल नहीं खाते, आज ऑयलर संकलन के अनुसार 1 − 2 + 4 − 8 + ... ऑयलर संकलनीय है और इसका ऑयलर संकलन ⅓ है।See Korevaar p.325 thumb|right|300px|Excerpt from the Institutiones ऑयलर रूपांतर धनात्मक पदों के अनुक्रम से आरम्भ होता है: a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8, ... . अतः अग्र अन्तर का अनुक्रम निम्न प्रकार होगा Δa0 = a1 − a0 = 2 − 1 = 1, Δa1 = a2 − a1 = 4 − 2 = 2, Δa2 = a3 − a2 = 8 − 4 = 4, Δa3 = a4 − a3 = 16 − 8 = 8, ..., जो अभिन्न अनुक्रम हैं अतः प्रत्येक n के लिए सभी पुनरावृत्‍त अग्र अन्तर Δna0 = 1 से आरम्भ होते हैं। ऑयलर रूपांतर निम्न श्रेणी है यह एक अभिसारी गुणोत्तर श्रेणी है जिसका सामान्य सूत्र से मान ⅓ प्राप्त होता है। बोरल संकलन श्रेणी 1 - 2 + 4 - 8 + . . . का बोरल संकलन भी ⅓ है; जब एमिल बोरेल ने 1896 में बोरेल संकलन का सीमान्त सूत्र प्रतिपादित किया तब श्रेणी 1 − 1 + 1 − 1 + ... के बाद यह उसके उदाहरणार्थ प्रथम परिणामों में से एक था।Smail p. 7. टिप्पणी सन्दर्भ आयलर लियोनार्ड Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum 1755 http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E212.html 24 मई 2013 https://web.archive.org/web/20080225150938/http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E212.html 25 फ़रवरी 2008 live फेररो, गोल्विनि और मार्को पांज़ा Developing into series and returning from series: A note on the foundations of eighteenth-century analysis Historia Mathematica 30 1 2003 February 17–46 10.1016/S0315-0860(02)00017-4 Gerhardt C.I. Briefwechsel zwischen Leibniz und Christian Wolf aus den handschriften der Koeniglichen Bibliothek zu Hannover 1860 Halle H.W. Schmidt http://books.google.com/books?id=5ScCAAAAQAAJ&pg=RA1-PP14 Knobloch Eberhard Beyond Cartesian limits: Leibniz’s passage from algebraic to "transcendental" mathematics Historia Mathematica 33 2006 113–131 10.1016/j.hm.2004.02.001 Korevaar Jacob Tauberian Theory: A Century of Developments Springer 2004 3-540-21058-X Leibniz Gottfried Gottfried Leibniz 2003 Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe 7, Band 3: 1672–1676: Differenzen, Folgen, Reihen Akademie Verlag 3-05-004003-3 http://www.nlb-hannover.de/Leibniz/Leibnizarchiv/Veroeffentlichungen/ S. Probst, E. Knobloch, N. Gädeke 24 मई 2013 https://web.archive.org/web/20131017093457/http://www.nlb-hannover.de/Leibniz/Leibnizarchiv/Veroeffentlichungen/ 17 अक्तूबर 2013 dead Moore Charles Summable Series and Convergence Factors AMS 1938 QA1 .A5225 V.22 Smail Lloyd History and Synopsis of the Theory of Summable Infinite Processes 1925 University of Oregon Press QA295 .S64 श्रेणी:अपसारी श्रेणी श्रेणी:गुणोत्तर श्रेणी