रामानुजन थीटा फलन

गणित में, विशेष रूप से क्यू-एनालॉग सिद्धांत में, रामानुजन थीटा फलन, जैकोबी के थीटा फलन को सामान्यीकृत रूप है। इस फलन का नाम महान भारतीय गणितज्ञ श्रीनिवास रामानुजन के नाम पर रखा गया है। परिभाषा रामानुजन थीटा फलन की परिभाषिता निम्नलिखित है- |ab। <1 के लिए। जैकोबी ट्रिपल गुणन सर्वसमिका तब निम्नलिखित रूप ले लेती है यहाँ, व्यंजक क्यू-पोचम्मर प्रतीक को दर्शाता है। इससे जो सर्वसमिकाएँ प्राप्त होतीं हैं उनमें से कुछ निम्नलिखित हैं - एवं एवं अंतिम वाली यह सर्वसमिका यूलर फलन है, जो डेडेकिंड एटा फलन से निकटता से संबंधित है। जैकोबी थीटा फलन को रामानुजन थीटा फलन का उपयोग करते हुए निम्नलिखित प्रकार से लिखा जा सकता हैः समाकलन के रूप में प्रतुतीकरण रामानुजन के थीटा फलन के पूर्ण दो-पैरामीटर रूप को हम समाकलन (इन्टीग्रल) के रूप में निम्नलिखित प्रकार से लिख सकते हैः Schmidt M. D. 2017 Square series generating function transformations http://www.ilirias.com/jiasf/repository/docs/JIASF8-2-11.pdf Journal of Inequalities and Special Functions 8 2 1609.02803 रामानुजन के थीटा फलन के विशेष रूप जो φ(q) : f(q, q) (sequence A000122 in the OEIS) तथा ψ(q) : f(q, q3) (sequence A010054 in the OEIS) को समाकलन के रूप में निम्न प्रकार से निरूपित कर सकते हैं https://mathworld.wolfram.com/RamanujanThetaFunctions.html Ramanujan Theta Functions Weisstein Eric W. MathWorld 29 April 2018Schmidt M. D. 2017 Square series generating function transformations http://www.ilirias.com/jiasf/repository/docs/JIASF8-2-11.pdf Journal of Inequalities and Special Functions 8 2 1609.02803Schmidt, M. D. (2017). "Square series generating function transformations" (PDF). Journal of Inequalities and Special Functions. 8 (2). arXiv:1609.02803. इस प्रकार, जब q : e−kπ होता है, उस स्थिति के स्थिरांकों के लिये अनेक विशिष्ट केस समाकलन प्राप्त होते हैं। विशेष रूप से, निम्नलिखित प्राप्त होता है Schmidt M. D. 2017 Square series generating function transformations http://www.ilirias.com/jiasf/repository/docs/JIASF8-2-11.pdf Journal of Inequalities and Special Functions 8 2 1609.02803Schmidt, M. D. (2017). "Square series generating function transformations" (PDF). Journal of Inequalities and Special Functions. 8 (2). arXiv:1609.02803. इसी प्रकार स्ट्रिंग सिद्धांत में इसका उपयोग रामानुजन थीटा फलन का उपयोग बोसोनीक स्ट्रिंग सिद्धांत, सुपरस्ट्रिंग सिद्धांत और एम-सिद्धांत में क्रिटिकल डाइमेन्सन्स को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। सन्दर्भ श्रेणी:Pages with unreviewed translations