केरलीय गणित सम्प्रदाय

right|thumb|300px|केरलीय गणित सम्प्रदाय की गुरु-शिष्य परम्परा भारतीय गणित के सन्दर्भ में, १४वीं शताब्दी से लेकर १६वीं शताब्दी तक केरल क्षेत्र में एक के बाद एक अनेक महान गणितज्ञ एवं खगोलविद् हुए जिन्होंने गणित और खगोल के क्षेत्र में अत्यन्त उन्नत कार्य किया। इन्हीं को सम्मिलित रूप से केरलीय गणित सम्प्रदाय कहा जाता है। Emergence of a New Era in the History of Indian Mathematicsकालक्रम की दृष्टि से संगमग्राम के माधव इस सम्प्रदाय के सबसे पहले योगदाता माने जाते हैं। माधवन के बाद कम से कम दो शताब्दियों तक यह सम्प्रदाय फलता-फूलता रहा। परमेश्वर, नीलकण्ठ सोमयाजि, ज्येष्ठदेव, अच्युत पिशारती, मेलापतुर नारायण भट्टतिरि तथा अच्युत पान्निकर इसके अन्य सदस्य थे। खगोलीय समस्याओं के समाधान के खोज के चक्कर में इस सम्प्रदाय ने स्वतंत्र रूप से अनेकों महत्वपूर्ण गणितीय संकल्पनाएँ सृजित की। इनमें त्रिकोणमितीय फलनों का श्रेणी के रूप में प्रसार सबसे महत्वपूर्ण है, जो नीलकंठ द्वारा रचित तंत्रसंग्रह नामक ग्रन्थ में मिलता है। Ranjan Roy, 1990. "Discovery of the Series Formula for π {\displaystyle \pi } by Leibniz, Gregory, and Nilakantha." Mathematics Magazine (Mathematical Association of America) 63(5):291–306. ज्येष्ठदेव से हमें समाकलन का विचार मिला, जिसे संकलितम (हिंदी अर्थ : "संग्रह" ) कहा गया था, जैसा कि इस कथन में है: एकाद्येकोथर पद संकलितं समं पदवर्गठिन्ते पकुति जो समाकलन को एक ऐसे चर (पद) में बदल देता है जो चर के वर्ग के आधे के बराबर होगा; अर्थात् x dx का समाकलन x2 / 2 के बराबर होगा। यह स्पष्ट रूप से समाकलन की शुरुआत है। इससे सम्बंधित एक अन्य परिणाम कहता है कि किसी वक्र के अन्दर का क्षेत्रफल उसके समाकल के बराबर होता है। इसमें से अधिकांश परिणाम यूरोप में ऐसे ही परिणामों के अस्तित्व से कई शताब्दियों पूर्व के हैं। अनेक दृष्टियों से, ज्येष्ठदेव का युक्तिभाष नामक ग्रन्थ कलन पर विश्व का पहला ग्रन्थ माना आ सकता है। केरल सम्प्रदाय ने खगोल विज्ञान में अन्य कई कार्य भी किये; वास्तव में खगोलीय परिकलनों पर विश्लेषण संबंधी परिणामों की तुलना में कहीं अधिक पृष्ठ लिखे गए हैं। केरल स्कूल ने भाषाविज्ञान में भी योगदान दिया है (भाषा और गणित के मध्य सम्बन्ध एक प्राचीन भारतीय परंपरा है ; इसके सम्बन्ध में कात्यायन देखें )। केरल की आयुर्वेदिक और काव्यमय परंपरा की जड़ें भी इस सम्प्रदाय में खोजी जा सकती हैं। प्रसिद्ध कविता, नारायणीयम, की रचना नारायण भात्ताथिरी द्वारा की गयी थी। परिचय यद्यपि ऐसा लगता है कि इस्लामी फतह के बाद उत्तरी भारत के अधिकांश भागों में गणित में मौलिक कार्य रुक गये, बनारस गणित अध्ययन केंद्र के रूप में बचा रहा और केरल में गणित का एक महत्वपूर्ण स्कूल पल्लवित हुआ। 14वीं सदी में कोच्चि में माधव ने गणित में महत्वपूर्ण अनुसंधान किए जिसे यूरोपीय गणितज्ञ कम से कम दो सदियों बाद ही जान पाये। उनके ज्या और कोज्या फलन के श्रेढी विस्तारण को जानने में न्यूटन को इसके बाद 300 वर्ष और लगे थे। गणित के इतिहासकार राजगोपाल, रंगाचारी और जोसेफ का मानना है कि गणित में उनकी देन इसे अगले सोपान पर - आधुनिक शास्त्रीय विश्लेषण पर - ले जाने में बहुत सहायक थी। 15वीं सदी में तिरूर, केरल के नीलकंठ ने माधव द्वारा प्राप्त परिणामों को विस्तृत किया और व्याख्या की। 16 वीं सदी में केरल के ज्येष्ठदेव ने माधव और नीलकंठ की कृतियों में शामिल प्रमेयों के विस्तृत प्रमाण और नियमों के डेरिवेशन्स दिये। यह भी ध्यान देने योग्य है कि ज्येष्ठदेव की पुस्तक ’’युक्तिभाषा’’ में नीलकंठ की पुस्तक ’’तंत्र संग्रह’’ पर टिप्पणियां तो हैं ही इसके अलावा उसमें ग्रहीय सिद्धांत की भी व्याख्या है जिसे टाइको व्राहे ने बहुत बाद में अपनाया; इसके अलावा परवर्ती यूरोपीय विद्वानों द्वारा कल्पित गणित की भी उन्होंने पूर्व में व्याख्या की थी। चित्रभानु, 16 वीं सदी, केरल ने परिणाम हासिल करने के लिए बीजगणितीय और ज्यामितीय दोनों रीतियों का प्रयोग किया और इसके द्वारा दो बीजगणितीय समीकरणों की 21 प्रकार की प्रणालियों के राशि हल दिए। केरल के गणितज्ञों द्वारा किए गए महत्वपूर्ण अनुसंधानों में न्यूटन-गॉस का प्रक्षेप सूत्र, एक असीम श्रेणी के योगफल का सूत्र और पाइ का मान एक श्रेढ़ी के रूप में भी शामिल हैं। चाल्र्स व्हिश 1835 में "ट्रांसैक्शन्स ऑफ दी रॉयल एशियाटिक सोसायटी ऑफ ग्रेट ब्रिटेन एण्ड आयरलैंड" में प्रकाशित उन प्रथम पश्चिमी विद्वानों में से एक थे जिन्होंने इस तथ्य को स्वीकार किया कि इस क्षेत्र में हुए यूरोपीय विकास को केरल स्कूल ने 300 वर्ष पहले ही कल्पित कर लिया था। योगदान thumb|420x420px|लगभग 1530 ईस्वी की Yuktibhasa के कुछ पन्ने अनंत श्रेणी (Infinite series) केरल गणित सम्प्रदाय ने अनन्त श्रेणी के क्षेत्र में कई महत्वपूर्ण योगदान दिए हैं। इनमें निम्नलिखित अनंत गुणोत्तर श्रेणी भी शामिल हैं: Singh A. N. 1936 On the Use of Series in Hindu Mathematics Osiris 1 606–628 10.1086/368443 144760421 केरल गणित सम्प्रदाय ने गणितीय आगमन का सहज उपयोग किया, हालांकि उस समय तक प्रमाणों में आगमनात्मक परिकल्पना (Inductive hypothesis) को औपचारिक रूप से तैयार या नियोजित नहीं किया गया था। उन्होंने इसका उपयोग इस परिणाम के अर्ध-सटीक प्रमाण की खोज के लिए किया: बड़े n के लिए। उन्होंने , , और के लिए (टेलर-मैकलॉरिन) अनंत श्रेणी प्राप्त करने के लिए (भविष्य के) अवकलन (differential) और समाकलन (integral) कलन के विचारों को लागू किया।Bressoud 2002 'तंत्रसंग्रह-व्याख्या' में इन श्रेणियों को श्लोकों के रूप में दिया गया है, जिन्हें गणितीय संकेतन में अनुवादित करने पर इस प्रकार लिखा जा सकता है: जहाँ, के लिए ये श्रेणियाँ इन त्रिकोणमितीय फलनों के मानक पावर सीरीज (power series) में बदल जाती हैं, उदाहरण के लिए: और (केरल स्कूल ने "फैक्टोरियल (factorial)" प्रतीकों का उपयोग नहीं किया था।) केरल स्कूल ने इन परिणामों को सिद्ध करने के लिए एक वृत्त के चाप के सुधार (लंबाई की गणना) का उपयोग किया। (लाइबनिट्स की बाद की विधि, जिसमें 'क्वाड्रेचर' यानी चाप के नीचे के क्षेत्रफल की गणना का उपयोग किया गया था, उस समय तक विकसित नहीं हुई थी।) उन्होंने के लिए एक अनंत श्रेणी अभिव्यक्ति (जिसे बाद में ग्रेगरी श्रेणी के रूप में जाना गया) प्राप्त करने के लिए के श्रेणी विस्तार का भी उपयोग किया: अपनी श्रेणियों के परिमित योग (finite sum) के लिए 'त्रुटि' (error) का उनका तर्कसंगत सन्निकटन (rational approximation) विशेष रुचि का है। उदाहरण के लिए, श्रेणी के लिए त्रुटि, , (विषम n और i = 1, 2, 3 के लिए): जहाँ उन्होंने के लिए अधिक तेजी से अभिसरण (converging) करने वाली श्रेणी प्राप्त करने के लिए के आंशिक भिन्न विस्तार (partial fraction expansion) का उपयोग करते हुए पदों में बदलाव किया: उन्होंने बेहतर श्रेणी का उपयोग करके के लिए एक परिमेय व्यंजक (rational expression), प्राप्त किया जो नौ दशमलव स्थानों तक सही है, अर्थात । उन्होंने इन परिणामों की गणना करने के लिए सीमा (limit) की एक सहज अवधारणा का उपयोग किया। केरल स्कूल के गणितज्ञों ने कुछ त्रिकोणमितीय फलनों के विभेदन (differentiation) की एक अर्ध-सटीक विधि भी दी,Katz, V. J. 1995. "Ideas of Calculus in Islam and India." (pdf https://web.archive.org/web/20231208113505/https://maa.org/sites/default/files/0025570x37767.di021190.02p0147a.pdf 8 December 2023 ) Mathematics Magazine (Mathematical Association of America), 68(3):163-174. हालांकि फलन (function), या घातांकीय (exponential) या लघुगणकीय (logarithmic) फलनों की अवधारणा तब तक तैयार नहीं की गई थी। मान्यता 1825 में जॉन वारेन ने दक्षिण भारत में समय के विभाजन पर एक संस्मरण प्रकाशित किया,John Warren (1825) A Collection of Memoirs on Various Modes According to which Nations of the Southern Part of India Divide Time from Google Books जिसे 'काला संकलित' (Kala Sankalita) कहा गया, जिसमें केरल के खगोलविदों द्वारा अनंत श्रेणी की खोज का संक्षिप्त उल्लेख है। केरल स्कूल के कार्यों को पहली बार 1835 में अंग्रेज सी. एम. व्हिश द्वारा पश्चिमी दुनिया के लिए लिखा गया था। व्हिश के अनुसार, केरल के गणितज्ञों ने "फ्लक्सियन्स (fluxions) की एक पूर्ण प्रणाली की नींव रखी थी" और ये कार्य "फ्लक्सिअनल रूपों और श्रेणियों से भरे हुए थे जो विदेशी देशों के किसी भी कार्य में नहीं मिलते थे"।Whish Charles M. 1835 XXXIII. On the Hindú Quadrature of the Circle, and the infinite Series of the proportion of the circumference to the diameter exhibited in the four S'ástras, the Tantra Sangraham, the Yucti Bháshá, Carana Padhati, and Sadratnamáka Transactions of the Royal Asiatic Society 3 509–523 https://archive.org/details/transactionsofro03asia/page/509/ हालांकि, व्हिश के परिणामों की एक सदी बाद तक लगभग पूरी तरह से उपेक्षा की गई, जब सी. टी. राजगोपाल और उनके सहयोगियों द्वारा केरल स्कूल की खोजों की फिर से जांच की गई। उनके काम में 'युक्तिभाषा' में अर्कटैन (arctan) श्रेणी के प्रमाणों पर दो पत्रों में टिप्पणियां शामिल हैं, Rajagopal C. Rangachari M. S. 1949 A Neglected Chapter of Hindu Mathematics Scripta Mathematica 15 201–209 Rajagopal C. Rangachari M. S. 1951 On the Hindu proof of Gregory's series Scripta Mathematica 17 65–74 साइन (sine) और कोसाइन (cosine) श्रेणी के 'युक्तिभाषा' के प्रमाण पर एक टिप्पणी Rajagopal C. Venkataraman A. 1949 The sine and cosine power series in Hindu mathematics Journal of the Royal Asiatic Society of Bengal (Science) 15 1–13 और दो पत्र जो अर्कटैन, साइन और कोसाइन की श्रेणी के लिए 'तंत्रसंग्रहव्याख्या' के संस्कृत श्लोक (अंग्रेजी अनुवाद और टिप्पणी के साथ) प्रदान करते हैं। Rajagopal C. Rangachari M. S. 1977 On an untapped source of medieval Keralese mathematics 10.1007/BF00348142 Archive for History of Exact Sciences 18 2 89–102 51861422 Rajagopal C. Rangachari M. S. 1986 On Medieval Kerala Mathematics https://archive.org/details/sim_archive-for-history-of-exact-sciences_1986_35_2/page/n1 Archive for History of Exact Sciences 35 2 91–99 10.1007/BF00357622 121678430 1972 में के. वी. सरमा ने अपनी पुस्तक A History of the Kerala School of Hindu Astronomy प्रकाशित की, जिसमें इस स्कूल की विशेषताओं जैसे कि 13वीं से 17वीं शताब्दी तक ज्ञान संचरण की निरंतरता का वर्णन किया गया: गोविंद भट्टथरी से परमेश्वर, दामोदर, नीलकंठ सोमयाजी, ज्येष्ठदेव से अच्युत पिशारती तक। शिक्षक से छात्र तक संचरण ने "खगोल विज्ञान जैसे व्यावहारिक, प्रदर्शनकारी अनुशासन में ज्ञान को उस समय संरक्षित किया जब मुद्रित पुस्तकों और सार्वजनिक स्कूलों का प्रसार नहीं था।" 1994 में यह तर्क दिया गया था कि केरल में लगभग 1500 ईस्वी में सूर्य-केंद्रित मॉडल को अपनाया गया था।K. Ramasubramanian, M. D. Srinivas & M. S. Sriram (1994) Modification of the earlier Indian planetary theory by the Kerala astronomers (c. 1500 A.D.) and the implied heliocentric picture of planetary motion, Current Science 66 (10): 784–90 केरलीय गणित सम्प्रदाय का प्रभाव ’’क्रेस्ट ऑफ पीकॉक’’ के लेखक जोसेफ कहते हैं कि गणित की भारतीय पांडुलिपियां यूरोप में संभवतया जेसुइट पादरियों द्वारा लाई गई जैसे कि मात्तिओ रिक्सी जिसने 1580 में चर्च द्वारा निर्देश प्राप्त होने के बाद गोवा से कोचीन जाकर वहां दो साल बिताये। कोचीन त्रिचूर से केवल 70 किमी दूर स्थित है। त्रिचूर उस समय ज्योतिर्विद्या के अभिलेखों का सबसे बड़ा संग्रहालय था। व्हिश और हाइन, दो यूरोपीय गणितज्ञों ने त्रिचूर के केरलीय गणितज्ञों की कृतियों की नकल प्राप्त की थी और यह बड़ा स्वाभाविक लगता है कि जेसुइट पादरियों ने इन कृतियों की नकल पीसा या पदाउ या पेरिस में पहुंचाई। पीसा में गैलिलियो, कैवेलियरी और वालिस, पदाउ में जेम्स ग्रेगरी और पेरिस में मरसेन जो फर्मट और पास्कल के संपर्क में थे, इन गणितीय अवधारणाओं के प्रसार के अभिकर्ता बने। सन्दर्भ इन्हें भी देखें भारतीय गणित भारतीय गणितज्ञ सूची भारतीय खगोलशास्त्र गणित का इतिहास बाहरी कड़ियाँ The Kerala School, European Mathematics and Navigation - By D.P. Agrawal सम्प्रदाय, केरलीय गणित श्रेणी:केरल श्रेणी:केरल की संस्कृति