लजान्द्र रूपान्तर

thumb|200px|लजान्द्र रूपान्तर की ज्यामितीय व्याख्या गणित में किसी वास्तविक मान वाले, तथा सभी बिन्दुओं पर अवकलनीय फलन f तथा g में निम्नलिखित सम्बन्ध हो तो g को f का लजान्द्र रूपान्तर (LegendreTransform) कहा जाता है। इस रूपान्तर का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ आद्रियें मारि लजान्द्र (Adrien-Marie Legendre) के नाम पर पड़ा है। जहाँ D , अवकलज (डिफरेंशियल) का प्रतीक है तथा दाहिनी ओर आने वाला -1 , प्रतिलोम फलन को सूचित कर रहा है। यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि g , f का लजान्द्र रूपान्तर हो तो f, g का लजान्द्र रूपान्तर होगा उदाहरण के लिये, फलन तथा फलन एक दूसरे के लजान्द्र रूपान्तर हैं। एक विशेष स्थिति में, यदि फलन f एक उत्तल फलन (कान्वेक्स फंक्शन) हो तो इसका लजान्द्र रूपान्तर ƒ* निम्नलिखित सम्बन्ध द्वारा अभिव्यक्त किया जा सकता है- उपयोग (१) ऊष्मागतिकी में - ऊष्मागतिक विभव प्राप्त करने के लिये, (२) क्लासिकल यांत्रिकी में -- to derive the Hamiltonian formalism out of the Lagrangian formalism (३) सांख्यिकीय यांत्रिकी में, (३) अनेक चरों वाले अवकल समीकरणों का हल प्राप्त करने के लिये। उदाहरण प्रथम उदाहरण Let f(x) cx2 defined on R, where c > 0 is a fixed constant. For x* fixed, the function x*x – f(x) x*x – cx2 of x has the first derivative x* – 2cx and second derivative −2c; there is one stationary point at x x*/2c, which is always a maximum. Thus, I* R and Clearly, namely f ** f. द्वितीय उदाहरण Let f(x) x2 for x ∈ I [2, 3]. For x* fixed, x*x − f(x) is continuous on I compact, hence it always takes a finite maximum on it; it follows that I* R. The stationary point at x x*/2 is in the domain [2, 3] if and only if 4 ≤ x* ≤ 6, otherwise the maximum is taken either at x 2, or x 3. It follows that . तृतीय उदाहरण The function f(x) cx is convex, for every x (strict convexity is not required for the Legendre transformation to be well defined). Clearly x*x − f(x) (x* − c)x is never bounded from above as a function of x, unless x* − c 0. Hence f* is defined on I* {c} and f*(c) 0. One may check involutivity: of course x*x − f*(x*) is always bounded as a function of x* ∈ {c}, hence I ** R. Then, for all x one has and hence f **(x) cx f(x). चतुर्थ उदाहरण (अनेक चर) Let be defined on X Rn, where A is a real, positive definite matrix. Then f is convex, and has gradient p − 2Ax and Hessian −2A, which is negative; hence the stationary point x A−1p/2 is a maximum. We have X* Rn, and . गुण शर्तें , , लैम्बर्ट का W फलन इन्हें भी देखें लाप्लास रूपान्तर फूर्ये रूपान्तर श्रेणी:गणितीय रूपान्तर