असतत टोमोग्राफी

अंगूठाकार|दो ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज दिशाओं के लिए एक असतत टोमोग्राफी पुनर्निर्माण समस्या (बाएं) इसके साथ (गैर-अद्वितीय) समाधान (दाएं) । कार्य कुछ सफेद बिंदुओं को काला रंग देना है ताकि पंक्तियों और स्तंभों में काले बिंदुओं की संख्या नीली संख्याओं से मेल खा सके। विविक्त टोमोग्राफी द्विआधारी छवियों (या उनके अनुमान की एक छोटी संख्या से पूर्णांक जाली के परिमित सबसेट) के पुनर्निर्माण की समस्या पर केंद्रित है। सामान्य तौर पर, टोमोग्राफी अनुमानों के एक समूह से किसी वस्तु के आकार और आयामी जानकारी निर्धारित करने की समस्या से संबंधित है। गणितीय दृष्टिकोण से, वस्तु एक फलन से मेल खाती है और उत्पन्न समस्या इस फलन को इसके समाकलन या इसके क्षेत्र के उपसमुच्चय पर योग से पुनर्निर्मित करना है। सामान्य तौर पर, टोमोग्राफिक व्युत्क्रम समस्या निरंतर या असतत हो सकती है। निरंतर टोमोग्राफी में कार्य का क्षेत्र और सीमा दोनों निरंतर होते हैं और रेखा समाकलन का उपयोग किया जाता है। असतत टोमोग्राफी में फलन का क्षेत्र या तो असतत या निरंतर हो सकता है, और फलन की सीमा वास्तविक, आमतौर पर गैर-ऋणात्मक संख्याओं का एक परिमित समूह है। निरंतर टोमोग्राफी में जब बड़ी संख्या में अनुमान उपलब्ध होते हैं, तो कई अलग-अलग एल्गोरिदम द्वारा सटीक पुनर्निर्माण किया जा सकता है। यह असतत टोमोग्राफी के लिए विशिष्ट है कि केवल कुछ अनुमानों (रेखा योग) का उपयोग किया जाता है। इस मामले में, सभी पारंपरिक तकनीक विफल हो जाती हैं। असतत टोमोग्राफी का एक विशेष मामला कम संख्या में अनुमानों से द्विआधारी छवि के पुनर्निर्माण की समस्या से संबंधित है। डिस्क्रीट टोमोग्राफी नाम लैरी शेप के कारण है, जिन्होंने इस विषय पर समर्पित पहली बैठक (डिस्क्रीट टोमोग्राफ़ी पर डीआईएमएसीएस मिनी-सिम्पोजियम, 19 सितंबर 1994, रटगर्स यूनिवर्सिटी) का आयोजन किया। सिद्धांत विविक्त टोमोग्राफी का अन्य गणितीय क्षेत्रों के साथ मजबूत संबंध है, जैसे संख्या सिद्धांत, विविक्त गणित, कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत और संयोजन वास्तव में, कई असतत टोमोग्राफी समस्याओं पर पहले संयोजन समस्याओं के रूप में चर्चा की गई थी। 1957 में, एच. जे. रेसर ने एक विविक्त समुच्चय के दो ऑर्थोगोनल प्रक्षेपणों के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त पाई। अपने प्रमेय के प्रमाण में, रेसर ने एक पुनर्निर्माण एल्गोरिथ्म का भी वर्णन किया, जो दो ऑर्थोगोनल प्रक्षेपणों से एक सामान्य असतत सेट के लिए पहला पुनर्निर्माण एल्गोरिथम था। उसी वर्ष, डेविड गेल ने समान स्थिरता की स्थिति पाई, लेकिन नेटवर्क प्रवाह समस्या के संबंध में।https://archive.org/details/combinatorialmat0000brua/page/27 Combinatorial matrix classes Brualdi Richard A. Cambridge University Press 2006 978-0-521-86565-4 Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 108 Cambridge 27 1106.05001 रायसर का एक अन्य परिणाम स्विचिंग ऑपरेशन की परिभाषा है जिसके द्वारा समान प्रक्षेपण वाले असतत सेटों को एक दूसरे में बदला जा सकता है। कम संख्या में प्रक्षेपणों से द्विआधारी छवि के पुनर्निर्माण की समस्या आम तौर पर बड़ी संख्या में समाधानों की ओर ले जाती है। संभावित समाधानों के वर्ग को केवल उन छवियों के वर्ग के विशिष्ट लोगों तक सीमित करना वांछनीय है, जिसमें उत्तलता या जुड़ाव जैसी प्राथमिक जानकारी का उपयोग करके छवि का पुनर्निर्माण किया जा रहा है। प्रमेय अगर एक्स-रे को उनके 1-आयामी एक्स-रे से लिया जाता है तो उनके 1-आयाम वाले एक्स-रे सेट से प्लैनर जाली का पुनर्निर्माण एक एनपी-हार्ड समस्या है। एम ≥ 3 {\displaystyle m\geq 3} जालीदार दिशाएँ (के लिए एम = 2 {\displaystyle m = 2} समस्या पी में है पुनर्निर्माण समस्या अत्यधिक अस्थिर है एम ≥ 3 {\displaystyle m\geq 3} (इसका मतलब है कि एक्स-रे के एक छोटे से गड़बड़ी से पूरी तरह से अलग पुनर्निर्माण हो सकता है और इसके लिए स्थिर हैA. Alpers, P. Gritzmann, L. Thorens, Stability and Instability in Discrete Tomography, Lecture Notes in Computer Science 2243; Digital and Image Geometry (Advanced Lectures), G. Bertrand, A. Imiya, R. Klette (Eds.), pp. 175-186, Springer-Verlag, 2001. एम = 2 {\displaystyle m = 2} , देखें। उपयोग करके ग्रिड को रंगना के {\displaystyle k} इस प्रतिबंध के साथ कि प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ में प्रत्येक रंग की कोशिकाओं की एक विशिष्ट संख्या होती है, को के रूप में जाना जाता है (के-1) {\displaystyle (k-1′} - असतत टोमोग्राफी समुदाय में परमाणु समस्या। समस्या एनपी-हार्ड है के ≥ 3 {\displaystyle k\geq 3} , देखें। अधिक परिणामों के लिए, देखें एल्गोरिदम पुनर्निर्माण विधियों में से कोई बीजगणितीय पुनर्निर्माण तकनीकों (जैसे, DART या ′ लालची एल्गोरिदम (देखें सन्निकटन गारंटी और मोंटे कार्लो एल्गोरिदम के लिए) पा सकता है। आवेदन छवि प्रसंस्करण, चिकित्सा, त्रि-आयामी सांख्यिकीय डेटा सुरक्षा समस्याओं, कंप्यूटर टोमोग्राफ सहायता प्राप्त इंजीनियरिंग और डिजाइन, इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोपी और सामग्री विज्ञान में विभिन्न एल्गोरिदम लागू किए गए हैं, जिसमें 3डीएक्सआरडी माइक्रोस्कोप शामिल हैं। असतत टोमोग्राफी का एक रूप गैरग्राम का आधार भी बनाता है, एक प्रकार की तर्क पहेली जिसमें डिजिटल छवि की पंक्तियों और स्तंभों के बारे में जानकारी का उपयोग छवि के पुनर्निर्माण के लिए किया जाता है।https://books.google.com/books?id=K98BAAAACAAJ Games Magazine Presents Paint by Numbers Random House 1994 978-0-8129-2384-1 यह भी देखें ज्यामितीय टोमोग्राफी संदर्भ बाहरी लिंक यूरो डीटी (शोधकर्ताओं के लिए एक डिस्क्रीट टोमोग्राफी विकी साइट) क्रिस्टोफ डुर द्वारा टोमोग्राफी एप्लेट https://web.archive.org/web/20240625002759/https://webia.lip6.fr/~durrc/Xray/Complexity/ 25 जून 2024 विविक्त टोमोग्राफी पर पीएचडी थीसिस (2012): संचरण टोमोग्राफी डेटा के मात्रात्मक विश्लेषण के लिए टोमोग्राफिक विभाजन और विविक्त टोमोग्राफ़ी https://web.archive.org/web/20260412233748/https://visielab.uantwerpen.be/publications/tomographic-segmentation-and-discrete-tomography-quantitative-analysis-transmission 12 अप्रैल 2026 श्रेणी:व्यावहारिक गणित