निर्मेय

thumb|300px|परकार और पटरी ज्यामिति में किसी ज्यामितीय निर्माण (construction) से सम्बन्धित समस्या को निर्मेय कहते हैं। निर्मेय का अर्थ है - 'जिसका निर्माण करना है, वह'। ये निर्माण केवल पटरी और परकार (ruler-and-compass) की सहायता से बनाने होते हैं, चाँदा इत्यादि के प्रयोग से नहीं। कुछ साधारण निर्माण उदाहरण के लिये कुछ निर्मेय नीचे दिये गये हैं: पटरी और परकार की सहायता से किसी सरल रेखा को समद्विभाजित करना, अर्थात इस रेखा-खण्ड का मध्य बिन्दु ज्ञात करना पटरी और परकार की सहायता से किसी कोण को दो बराबर भागों में बाँटना यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दिया हो तो उसकी रचना करना तीन बिन्दुओं से होकर जाने वाले वृत्त की रचना करना किसी वृत्त के अन्दर समबाहु त्रिभुज, वर्ग, समपंचभुज, समषटभुज आदि का निर्माण किसी वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर क्षेत्रफल वाले वर्ग की रचना करना बीजीय संक्रियाएं परकार और पटरी की सहायता से, ग्राफ़िक रूप से दी गई या पहले से निर्मित वास्तविक संख्याओं के साथ निम्नलिखित मूलभूत बीजीय संक्रियाएं (algebraic operations) निष्पादित की जा सकती हैं (अर्थात, संख्या रेखा पर उनके परिणाम का निर्माण किया जा सकता है): दो संख्याओं का योग (योगफल का निर्माण), दो संख्याओं का घटाना (अंतर निकालना), दो संख्याओं का गुणा (गुणनफल निकालना), किसी संख्या को शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से भाग देना (भागफल का निर्माण), थेल्स के तृतीय प्रमेय (Intercept theorem)]] की सहायता से दशमलव संख्या का निर्माण, एक अऋणात्मक संख्या का वर्गमूल निकालना (वर्गमूल का निर्माण), किसी संख्या का वर्ग करना (वर्ग का निर्माण), किसी संख्या का घातांकन (Exponentiation) करना, द्विघात समीकरणों को हल करना। दूसरे शब्दों में: "वे सभी संख्याएँ निर्माण योग्य हैं जिन्हें पूर्णांकों से गणना की संक्रियाओं (जितनी बार चाहें और किसी भी क्रम में उपयोग करके) प्राप्त किया जा सकता है।"Hans Vollmayr Elmar Mittler 17 gleiche Ecken und Kanten mit Zirkel und Lineal In: Göttinger Bibliotheksschriften 30. „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“. Carl Friedrich Gauß in Göttingen Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen 2005 3-930457-72-5 104 [(https://www.math.uni-bremen.de/didaktik/ma/ralbers/Veranstaltungen/Geometrie06/Material/Konstr17eck.pdf#page=15&zoom=auto,-13,706) Der tiefere Grund der Konstruierbarkeit des Siebzehnecks] 2024-05-03 वे सभी संख्याएँ जो इन मूलभूत संक्रियाओं के सीमित उपयोग से प्राप्त *नहीं* की जा सकतीं, उन्हें परकार और पटरी से भी निर्मित *नहीं* किया जा सकता। ऐसी संख्याएँ वास्तव में अगणनीय (uncountably many) हैं, जैसे कि (यदि संख्याएँ 0 और 1 दी गई हों) सभी बीजातीत संख्याएँ (transcendental numbers) जैसे पाई ()]] या [[ऑयलर संख्या ]], और वे सभी बीजीय संख्याएँ जिनकी घात (degree) दो की घात *नहीं* है, जैसे कि घात 3 की संख्या जो पर अखंडनीय बहुपद का शून्यक (root) है। गुणनफल और भागफल के निर्माण के लिए थेल्स प्रमेय का उपयोग किया जाता है और वर्गमूल के निर्माण के लिए ज्या प्रमेय (Geometric mean theorem) या ऊंचाई प्रमेय का उपयोग किया जाता है (नीचे चित्र देखें)। एक ज्यामितीय संरचना, जिसे विशेष रूप से परकार और पटरी के साथ निर्माण की संभावनाओं को बीजीय रूप से प्रस्तुत करने के लिए विकसित किया गया था, यूक्लिडियन क्षेत्रों पर ( संश्लेषणात्मक ज्यामिति के अर्थ में) 'यूक्लिडियन समतल' बनाती है। जोड़ और घटाव गुणा भाग दशमलव संख्या वर्गमूल घातांकन द्विघात समीकरण Quadratische Gleichung और परिमेय संख्याएँ हैं (निम्नलिखित उदाहरण समान संबंधित मानों का उपयोग करते हैं)। रेखाखंड और । खींचे गए परवलय (हल्का हरा) निर्माण का हिस्सा नहीं हैं, वे केवल स्पष्टीकरण के लिए हैं। असम्भव निर्माण कुछ ज्यामितीय निर्माण केवल पटरी और परकार द्वारा नहीं बनाए जा सकते। वृत्त के समान क्षेत्र वाले वर्ग का निर्माण (स्क्वायरिंग द सर्कल) घन को दोगुना करना एक ऐसी रेखा खींचना जिसकी लम्बाई का घन, किसी दी गई रेखा की लम्बाई के घन के दो-गुना हो। कोण का त्रिभाजन कोण समत्रिभाजन किसी दिए गए कोण के एक-तिहाई (१/३) के बराबर कोण का निर्माण केवल पटरी या केवल परकार द्वारा निर्माण परिवर्धित निर्माण पटरी और परकार के अलावा कुछ ऐसे औजार हैं जिनकी सहायता से ऐसे निर्माण भी सम्भव हैं जो केवल पटरी और परकार से सम्भव नहीं हैं। इनमें चिह्नित पटरी (मार्केबल रूलर) तथा ओरिगामी (Origami) प्रमुख हैं। बाइनरी अंकों की गणना सन १९९८ में साइमन प्लोफी (Simon Plouffe) ने एक विधि बताई जिसके द्वारा पटरी और परकार द्वारा कुछ संख्याओं के बाइनरी अंक प्राप्त किए जा सकते हैं। इस विधि में एक कोण को बार-बार दोगुना किया जाता है। किन्तु २० बाइनरी अंकों के बाद यह विधि अव्यवहार्य (impractical) हो जाती है। इन्हें भी देखें प्रमेय बाहरी कड़ियाँ Van Schooten's Ruler Constructions at Convergence Online ruler-and-compass construction tool Squaring the circle Impossibility of squaring the circle Doubling the cube Angle trisection An Investigation of Historical Geometric Constructions at Convergence Trisection of an Angle Regular polygon constructions Simon Plouffe's use of ruler and compass as a computer Why Gauss could not have proved necessity of constructible regular polygons Construction with the Compass Only at cut-the-knot Archimedes' neusis construction by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas. Renaissance artists' constructions of regular polygons at Convergence Angle Trisection by Hippocrates Various constructions using compass and straightedge With interactive animated step-by-step instructions श्रेणी:ज्यामिति * eo:Geometrio#Klasikaj problemoj